二、函数、极限与连续（基础篇）：函数概念与性质、反函数、复合函数、基本初等函数图像与性质、数列极限与函数极限的定义与性质
函数是微积分研究的核心对象，极限则是贯穿微积分始终的基本工具。本章作为基础篇，旨在帮助考生建立清晰的概念框架：从函数的定义与性质出发，理解反函数与复合函数的构造逻辑，熟悉六类基本初等函数的图像特征，进而严格理解数列极限与函数极限的定义及其核心性质。这些内容不仅是后续导数、积分学习的基石，也是考研数学中选择题与填空题的高频考点。我们将从概念辨析、判定方法、典型例题与常见误区四个维度展开，帮助大家构建起扎实的“函数—极限”知识体系。
2.1 函数概念与性质：从对应法则到四大基本属性
核心原理：函数是定义在非空数集 D 上的映射，记作 y = f(x)，其中 x 为自变量，y 为因变量。定义域 D 与对应法则 f 是函数的两大核心要素，值域 R_f 由二者共同决定。考研中常以“求定义域”“判断两个函数是否相同”等题型考查对函数概念的理解。函数的四大基本性质——单调性、奇偶性、周期性、有界性——是研究函数图像与后续极限、导数应用的重要工具。
判断方法或操作流程：
- 求定义域：遵循“分母不为零、偶次根号下非负、对数真数大于零、反正弦/反余弦自变量值 ≤1、正切函数自变量 ≠ kπ + π/2”等原则。
- 判断函数相同：定义域相同且对应法则相同（化简后表达式一致），缺一不可。
- 奇偶性判定：先看定义域是否关于原点对称；再验证 f(-x) = f(x)（偶）或 f(-x) = -f(x)（奇）。
- 有界性判定：在定义域内是否存在 M > 0，使得 |f(x)| ≤ M 恒成立。
| 性质 | 定义要点 | 常见考点 | 典型例子 |
|---|---|---|---|
| 单调性 | 对任意 x₁ < x₂，f(x₁) < f(x₂)（增） | 利用导数判断、单调区间求解 | f(x) = x³ 在 R 上单调递增 |
| 奇偶性 | 定义域对称 + f(-x) = ±f(x) | 奇偶函数图像对称性、积分简化 | f(x) = sin x 为奇函数 |
| 周期性 | 存在 T > 0，f(x+T) = f(x) | 最小正周期求解、周期延拓 | f(x) = tan x，周期 T = π |
| 有界性 | 存在 M，|f(x)| ≤ M | 证明有界、利用有界性求极限 | f(x) = arctan x，|f(x)| < π/2 |
分析：由 x² - 3x + 2 > 0，即 (x-1)(x-2) > 0，解得 x < 1 或 x > 2。定义域为 (-∞,1) ∪ (2,+∞)，该区间不关于原点对称，因此 f(x) 既不是奇函数也不是偶函数。此例提醒我们：定义域对称是讨论奇偶性的前提条件。
2.2 反函数与复合函数：构造逻辑与存在条件
核心原理：若函数 y = f(x) 在定义域 D 上是单调的（或一一对应），则存在反函数 x = f⁻¹(y)，其定义域为原函数的值域，值域为原函数的定义域。反函数与原函数的图像关于直线 y = x 对称。复合函数 f[g(x)] 要求内层函数 g(x) 的值域必须包含于外层函数 f(u) 的定义域内，否则复合无意义。
操作流程：
- 求反函数三步法：① 由 y = f(x) 解出 x = φ(y)；② 交换 x 与 y 的位置，得 y = φ(x)；③ 标明反函数的定义域（即原函数的值域）。
- 复合函数分解：将复合函数拆解为“外层—中层—内层”结构，例如 y = e^(sin 2x) 可拆为 y = e^u，u = sin v，v = 2x。
- 复合函数求定义域：先求内层函数定义域 D_g，再求 g(x) 的值域与 f 定义域的交集，取交集对应的 x 范围。
2.3 基本初等函数图像与性质：六类函数的系统梳理
核心原理：基本初等函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数。它们是构成一切初等函数的基本“积木”。掌握每类函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性及特殊点（如零点、渐近线），是快速解题的关键。
| 函数类型 | 一般形式 | 定义域 | 值域 | 关键性质 |
|---|---|---|---|---|
| 幂函数 | y = x^α (α∈R) | 随 α 变化 | 随 α 变化 | α>0 过 (0,0)、(1,1)；α<0 过 (1,1) |
| 指数函数 | y = aˣ (a>0, a≠1) | R | (0,+∞) | 过 (0,1)；a>1 增，0<a<1 减 |
| 对数函数 | y = log_a x (a>0, a≠1) | (0,+∞) | R | 过 (1,0)；a>1 增，0<a<1 减 |
| 正弦函数 | y = sin x | R | [-1,1] | 奇函数，周期 2π |
| 余弦函数 | y = cos x | R | [-1,1] | 偶函数，周期 2π |
| 正切函数 | y = tan x | x ≠ kπ+π/2 | R | 奇函数，周期 π，有垂直渐近线 |
| 反正弦函数 | y = arcsin x | [-1,1] | [-π/2, π/2] | 奇函数，单调递增 |
| 反余弦函数 | y = arccos x | [-1,1] | [0, π] | 非奇非偶，单调递减 |
2.4 数列极限与函数极限：ε-N 与 ε-δ 定义的深度理解
核心原理：数列极限描述的是当 n 无限增大时，数列 {aₙ} 无限趋近于常数 A 的过程。严格定义为：对任意 ε > 0，存在正整数 N，使得当 n > N 时，恒有 |aₙ - A| < ε。函数极限则分为 x → x₀ 与 x → ∞ 两种情形，其核心思想是“当自变量充分接近（或充分大）时，函数值无限接近某个常数”。
极限的性质（重点记忆）：
- 唯一性：若极限存在，则极限值唯一。
- 有界性：若数列 {aₙ} 收敛，则 {aₙ} 必有界；函数在 x₀ 处极限存在，则函数在 x₀ 的某去心邻域内有界。
- 保号性：若 lim aₙ = A > 0，则存在 N，当 n > N 时 aₙ > 0；函数极限同理。
- 四则运算法则：在极限都存在的前提下，和、差、积、商（分母极限不为零）的极限等于极限的和、差、积、商。
证明过程：对任意 ε > 0，要使 |aₙ - 1| = |(n+1)/n - 1| = 1/n < ε，只需 n > 1/ε。取 N = [1/ε] + 1（[·] 表示取整），则当 n > N 时，必有 1/n < ε。故 lim aₙ = 1。
复盘：ε-N 证明的核心是“解不等式找 N”，关键在于将 |aₙ - A| 适当放大为一个关于 n 的简单表达式，再反解出 N 的取值。
2.5 常见误区与总结复盘
误区一：混淆“极限存在”与“函数有定义”。函数在 x₀ 处的极限与函数在 x₀ 处是否有定义无关，极限描述的是 x 趋近于 x₀ 时的趋势，而非 x₀ 处的函数值。
误区二：忽视复合函数的定义域验证。例如 f(x) = √(1-x²)，g(x) = 1/x，复合 f[g(x)] 时，必须先求 g(x) 的值域 (-∞,0)∪(0,+∞)，再与 f 的定义域 [-1,1] 取交集，得到 x ∈ (-∞,-1] ∪ [1,+∞)。
误区三：滥用极限四则运算法则。只有当两个极限都存在时才能拆分。例如 lim (x·sin(1/x)) 不能拆为 lim x · lim sin(1/x)，因为后者极限不存在，需用夹逼准则处理。
误区四：将数列极限与函数极限的记号混用。数列极限中 n 只能取正整数，而函数极限中 x 连续变化。两者在“海涅定理”（归结原则）下可以相互转化，但应用时需注意条件。