3、信号模型：旋变输出的正弦/余弦信号数学表达式、激磁信号与感应信号的关系

旋转变压器（Resolver）作为一种机电位置传感器，其核心价值在于将转子角度这一机械量，通过电磁感应原理转换为两路与角度呈特定函数关系的电信号。要深入理解旋变解码（Resolver-to-Digital, RDC）的过程，首先必须建立精确的数学模型。本章将围绕旋变的信号模型展开，详细推导激磁信号与正余弦感应信号之间的数学关系，并解析其背后的物理意义，为后续章节中解码算法与误差补偿策略的讨论奠定坚实的理论基础。

3.1 旋变的基本结构与激磁信号

旋变在结构上类似于一个小型交流电机，通常包含一个单相激磁绕组（位于转子）和两个正交的输出绕组（位于定子）。激磁绕组通过滑环或旋转变压器（无刷式）获得交流激励。在标准应用中，激磁信号是一个固定频率、固定幅值的正弦波，其数学表达式为：

V_exc(t) = E · sin(ω_c · t)

其中，E 为激磁电压的峰值幅值（典型值为 3Vrms 至 7Vrms），ω_c = 2π·f_carrier 为激磁角频率，载波频率 f_carrier 通常选择在 4kHz 至 20kHz 之间（常见为 10kHz）。选择该频段主要基于以下工程考量：

• 避开机械谐振与电气噪声：频率过低（如工频 50Hz）易受电网干扰，且旋变体积需增大；频率过高（>50kHz）则铁芯损耗显著增加，且对传输线阻抗敏感。
• 匹配解码芯片的采样率：现代 RDC 芯片（如 AD2S1210）内部 ADC 的采样率与激磁频率需满足奈奎斯特采样定理，10kHz 左右是性能与成本的平衡点。
• 与电机控制 PWM 频率错开：在电机驱动系统中，激磁频率应避开 PWM 开关频率及其谐波，避免干扰耦合。

激磁信号的质量直接影响解码精度。幅值稳定性（通常要求 ±0.1% 以内）和总谐波失真（THD < 1%）是两项关键指标。若激磁信号含有直流偏置，将直接导致解码角度出现与转速相关的纹波误差。

3.2 正余弦感应信号的数学推导

当转子上的激磁绕组通入交流电流后，会在气隙中产生脉振磁动势。该磁动势在空间上按正弦规律分布，并与转子同步旋转。定子上的两个输出绕组在空间上互差 90° 电角度，因此它们耦合到的磁通量分别与转子角度的正弦和余弦成正比。根据法拉第电磁感应定律，输出绕组的感应电动势为：

V_sin(t, θ) = K · E · sin(ω_c · t) · sin(θ)
V_cos(t, θ) = K · E · sin(ω_c · t) · cos(θ)

式中，K 为旋变的变比（匝数比），通常取值在 0.2 至 0.5 之间（例如 AD2S1210 推荐变比为 0.286）。θ 为转子相对于定子的机械角度。需要特别强调的是，这里的 θ 是机械角度，而非电角度。对于单对极旋变，机械角度与电角度相等；对于多对极旋变（如 4 对极），则电角度 = 4 × 机械角度，此时解码得到的角度需要除以极对数才能获得机械位置。

从上述表达式可以看出，旋变的输出信号是载波调制信号：激磁信号作为载波，其幅值被转子角度的正弦或余弦函数所调制。因此，从时域波形观察，正余弦输出信号的包络分别呈现 sin(θ) 和 cos(θ) 的形状，而载波频率与激磁信号完全一致。这一特性是后续所有解码算法（如反正切法、跟踪观测器法）的物理基础。

3.3 激磁与感应信号的相位与幅值关系

理想情况下，正余弦感应信号与激磁信号之间应保持严格的同相关系（或固定的 0°/180° 相位差，取决于绕组同名端接法）。但在实际系统中，由于旋变绕组存在漏感、分布电容以及铁芯涡流损耗，感应信号相对于激磁信号会产生一个微小的相位偏移 φ_shift。该相移通常在 2° 至 10° 之间（10kHz 激磁时）。

相位偏移的存在对解码精度有显著影响。若 RDC 芯片采用过零检测法或峰值采样法，相移会导致采样点偏离真正的峰值，从而引入幅值误差。现代 RDC 芯片（如 AD2S1210、AU6802）内部均设有相位补偿寄存器，允许用户通过配置来补偿激磁信号与反馈信号之间的相位差。补偿原理如下：

1. 芯片内部产生与激磁同频的正弦和余弦参考信号。
2. 将旋变输出的正余弦信号与参考信号进行混频（乘法器），再经过低通滤波。
3. 通过调整参考信号的相位，使得混频后的直流分量最大，此时即认为参考信号与旋变输出信号同相。

幅值关系方面，正余弦信号的幅值不仅取决于激磁幅值 E 和变比 K，还受到负载阻抗的影响。RDC 芯片的输入阻抗应远大于旋变输出阻抗（通常大于 100kΩ），以避免负载效应导致幅值下降。此外，传输线长度和线间电容也会引起高频衰减，必要时需在靠近芯片端添加 RC 滤波以抑制噪声，但需注意 RC 截止频率应远高于激磁频率（通常取 10 倍以上）。

参数	符号	典型值	影响
激磁频率	f_carrier	10 kHz	决定载波频率，影响铁损与采样率
激磁幅值	E	5 Vrms	直接影响输出幅值，需稳定
变比	K	0.286	决定输出信号幅度范围
相位偏移	φ_shift	2° ~ 10°	导致采样误差，需补偿
输出幅值	K·E	1.43 Vrms	需在 ADC 输入范围内

3.4 信号模型在解码中的工程应用

理解信号模型的核心价值在于指导解码算法的选择与参数设计。目前主流的解码方案是跟踪环路法（Type-II Tracking Loop），其本质是一个闭环反馈系统，通过不断调整内部数字角度 φ 来逼近真实的转子角度 θ。其工作原理基于以下三角恒等式：

V_sin · cos(φ) - V_cos · sin(φ) 
= K·E·sin(ωt) · [sin(θ)cos(φ) - cos(θ)sin(φ)]
= K·E·sin(ωt) · sin(θ - φ)

当 θ - φ 很小时，sin(θ - φ) ≈ θ - φ，该差值经过相敏解调（乘以 sin(ωt) 并低通滤波）后得到一个与角度误差成正比的直流电压。该误差电压驱动压控振荡器（VCO）或数字积分器，使 φ 不断向 θ 收敛。当环路锁定时，φ 即为转子角度的数字表示。

在实际工程中，信号模型还用于以下场景：

• 故障诊断：若监测到正余弦信号的幅值比偏离 K 值（例如正弦幅值明显小于余弦），可判断旋变绕组存在局部短路或退磁。
• 线缆补偿：长线缆（>10m）传输时，分布电容会导致幅值衰减和相移。根据信号模型，可在软件中建立补偿表，按频率和线长修正。
• 温漂补偿：温度变化会引起激磁绕组电阻变化，导致激磁电流和输出幅值漂移。通过实时监测激磁电流或输出幅值，可对角度误差进行前馈补偿。

3.5 常见误区与设计复盘

误区一：忽视激磁信号的幅值稳定性。许多工程师认为激磁幅值波动只会影响输出幅值，而不会影响角度。实际上，若激磁幅值在转动过程中发生波动（例如由于滑环接触电阻变化），解码环路会将这种幅值变化误判为角度变化，从而产生动态误差。因此，激磁电源应使用低噪声线性稳压器，并靠近旋变端放置去耦电容（典型值 100nF + 10μF）。

误区二：将正余弦信号直接接入 ADC 而不加调理。旋变输出信号通常叠加有共模噪声和开关噪声。直接采样会导致解码角度抖动。正确做法是使用差分输入方式，并在芯片前端添加一阶 RC 低通滤波器（截止频率设为激磁频率的 5~10 倍），同时确保滤波器的相移在可接受范围内。

误区三：忽略温度对变比 K 的影响。旋变的变比 K 并非恒定值，其温度系数约为 -0.1%/°C。在宽温域应用（如汽车 -40°C 至 +125°C）中，若不进行温度补偿，角度误差可达 0.5° 以上。建议在系统标定时记录不同温度下的 K 值，建立查找表进行修正。

案例复盘：在某伺服电机项目中，客户反馈旋变解码角度在高速旋转时出现 ±0.3° 的波动。经排查，发现激磁信号由 PWM 斩波电路产生，其幅值纹波达 2%。由于激磁频率为 10kHz，而 PWM 频率为 20kHz，两者产生差频干扰，导致解码环路出现周期性误差。解决方案是将激磁源改为线性功放，并增加 π 型滤波器，纹波降至 0.1% 以内，角度波动消失。此案例说明，信号模型中的幅值参数 E 必须视为一个受电源质量影响的变量，而非理想常数。