4、信号与系统基础：连续与离散信号、传递函数、状态空间模型、采样与Z变换

运动控制系统本质上是信号与能量的受控流动。无论是伺服电机的电流环、速度环，还是机器人的轨迹规划，其底层数学描述都建立在信号与系统理论之上。本章旨在打通从连续时间域到离散时间域的桥梁，帮助工程师理解：为什么物理世界是连续的，而控制器却必须运行在离散的时钟节拍上；如何用传递函数和状态空间模型描述被控对象；以及采样与Z变换如何将微分方程转化为可编程实现的差分方程。这是连接经典控制理论与现代数字控制实现的关键枢纽。

4.1 连续与离散信号：物理世界的连续性与数字控制的离散性

核心原理：运动控制系统的物理层（电机电流、转子位置、负载速度）本质上是连续时间信号，其变化遵循电磁感应定律和牛顿力学。然而，现代控制器（DSP、MCU、FPGA）只能以固定的采样周期 T_s 对物理量进行离散采样，并在离散时刻执行控制算法。这种连续与离散的冲突，是运动控制工程师必须面对的第一性矛盾。

连续信号 x(t) 可以用微分方程描述，其拉普拉斯变换为 X(s)。离散信号 x[k] 则是连续信号在 kT_s 时刻的采样值序列，其Z变换为 X(z)。两者之间的转换并非无损——采样过程会引入频率混叠（Aliasing），而重构过程（DAC输出）会引入阶梯状延迟（零阶保持效应）。

4.2 传递函数：从微分方程到频域模型的工程化表达

核心原理：传递函数 G(s) 是在零初始条件下，系统输出拉普拉斯变换与输入拉普拉斯变换之比。对于运动控制系统，典型的被控对象（如直流电机）传递函数可表示为：

G(s) = θ(s) / V(s) = K_t / [s (J s + B) (L s + R)]

其中 K_t 为转矩常数，J 为转动惯量，B 为粘性摩擦系数，L 为电枢电感，R 为电枢电阻。该传递函数清晰地揭示了系统的三个极点：一个位于原点（积分环节），两个位于左半平面（电气时间常数和机械时间常数）。

判断方法：通过传递函数的极点位置可以快速判断系统稳定性：所有极点必须位于 s 平面左半平面。若存在右半平面极点，系统必然不稳定；若极点位于虚轴上，系统处于临界稳定状态。此外，传递函数的增益裕度和相位裕度可通过 Bode 图直观读取，工程上要求相位裕度 ≥ 45°，增益裕度 ≥ 6 dB。

4.3 状态空间模型：多变量系统的现代控制基础

核心原理：传递函数只能描述单输入单输出（SISO）系统，且无法揭示系统内部状态。状态空间模型通过一组一阶微分方程描述系统：

dx/dt = A x + B u
y = C x + D u

其中 x 为状态向量（如电流、速度、位置），u 为输入向量（如电压指令），y 为输出向量（如编码器反馈）。对于永磁同步电机（PMSM），状态空间模型包含 d-q 轴电流、转子速度和位置，是一个典型的 4 阶 MIMO 系统。

操作流程：建立状态空间模型的工程步骤为：① 确定物理系统的独立储能元件（电感、电容、惯量）；② 选择状态变量（通常为储能元件的能量变量）；③ 列写微分方程；④ 整理为矩阵形式；⑤ 验证能控性与能观性。能控性矩阵 Q_c = [B AB A²B ...] 必须满秩，否则系统存在不可控模态。

d/dt [ω_m; ω_l; T_s] = [0 0 -1/J_m; 0 0 1/J_l; K_s -K_s 0] [ω_m; ω_l; T_s] + [1/J_m; 0; 0] T_e

4.4 采样与Z变换：数字控制器的数学基石

核心原理：Z变换将离散时间序列 x[k] 映射到复变量 z 域，定义为 X(z) = Σ x[k] z^(-k)。Z变换的核心价值在于将差分方程转化为代数方程，使得离散系统的分析可以复用连续系统的频域工具。采样过程的关键约束是奈奎斯特采样定理：采样频率 f_s 必须大于信号最高频率 f_max 的两倍，否则会发生混叠。

离散化方法对比：将连续传递函数 G(s) 离散化为 G(z) 的常用方法包括：

• 前向差分法（Euler法）： s = (z-1)/T_s，简单但可能将稳定系统离散化为不稳定系统，不推荐用于控制器设计。
• 后向差分法： s = (z-1)/(T_s z)，稳定性保持好，但频率畸变严重。
• 双线性变换（Tustin法）： s = (2/T_s)·(z-1)/(z+1)，最常用，频率预畸变可补偿非线性映射。
• 零极点匹配法： 将连续系统的零极点按 z = e^(sT_s) 映射到 z 平面，适用于要求频率响应保真的场合。

4.5 从传递函数到数字实现：完整工程链路

操作流程：将连续域控制器转换为可执行代码的标准流程为：① 在连续域设计控制器 C(s)，满足带宽和稳定裕度要求；② 选择合适的采样周期 T_s；③ 使用 Tustin 变换将 C(s) 转换为 C(z)；④ 将 C(z) 展开为差分方程；⑤ 编写定点或浮点代码实现。

以典型的速度环 PI 控制器为例，连续域传递函数为 C(s) = K_p + K_i/s。采用 Tustin 变换后得到：

C(z) = (b0 + b1 z^(-1)) / (1 - z^(-1))
其中 b0 = K_p + K_i·T_s/2，b1 = -K_p + K_i·T_s/2

对应的差分方程为：u[k] = u[k-1] + b0·e[k] + b1·e[k-1]。该方程只需 3 次乘法和 3 次加法即可在 DSP 中完成，执行时间通常小于 5 μs。