3. 纵向短周期模态分析

任务定义

针对某型固定翼无人机在巡航飞行状态（高度1000m，速度25m/s）下的纵向线性小扰动方程，提取短周期模态的特征值，判断其稳定性，并计算对应的阻尼比ζ和自然频率ω_n。本案例聚焦于短周期近似模型（忽略沉浮模态耦合），以状态空间矩阵的特征分解为核心手段。

纵向短周期状态方程

短周期近似模型选取迎角增量Δα和俯仰角速率增量Δq为状态变量，升降舵偏角增量Δδ_e为输入。状态空间形式为：

d/dt [Δα; Δq] = A_sp · [Δα; Δq] + B_sp · Δδ<sub>e</sub>

其中系统矩阵（巡航点配平后线性化得到，单位：1/s）：

A_sp = [Z<sub>α</sub>/V  1;  M<sub>α</sub>  M<sub>q</sub>] = [-0.48  1;  -2.40  -0.72]

该矩阵已包含气动导数与惯性参数的聚合结果，是后续特征分析的直接输入。

Python实现：特征提取与稳定性评估

import numpy as np

# 短周期系统矩阵（巡航点：H=1000m, V=25m/s）
A_sp = np.array([[-0.48, 1.0],
                 [-2.40, -0.72]])

# 1. 计算特征值
eigenvalues, _ = np.linalg.eig(A_sp)
print("特征值:", eigenvalues)

# 2. 稳定性判定
stable = all(np.real(ev) < 0 for ev in eigenvalues)
print("稳定性: ", "稳定" if stable else "不稳定")

# 3. 阻尼比与自然频率（针对复共轭对）
# 短周期模态通常表现为一对复共轭特征值
lambda_real = np.real(eigenvalues[0])
lambda_imag = np.imag(eigenvalues[0])

if abs(lambda_imag) > 1e-6:  # 复特征值对
    omega_n = np.sqrt(lambda_real**2 + lambda_imag**2)
    zeta = -lambda_real / omega_n
    print(f"自然频率 ωn = {omega_n:.4f} rad/s")
    print(f"阻尼比 ζ = {zeta:.4f}")
    print(f"对应周期 T = {2*np.pi/omega_n:.4f} s")
else:  # 实特征值（非振荡）
    print("模态为非振荡型，无阻尼比定义")
    for ev in eigenvalues:
        tau = -1.0/np.real(ev) if np.real(ev) < 0 else float('inf')
        print(f"  实特征值 {ev:.4f}, 时间常数 τ = {tau:.4f} s")

预期输出与判定标准

根据给定矩阵A_sp，特征方程为λ² + 1.2λ + 2.88 = 0，解得特征值为λ = -0.6 ± 1.5875j。预期输出：

特征值: [-0.6+1.5875j -0.6-1.5875j]
稳定性:  稳定
自然频率 ωn = 1.6971 rad/s
阻尼比 ζ = 0.3536
对应周期 T = 3.7025 s

验证方法：运行上述Python脚本，观察打印的特征值实部均为负（判定稳定），且阻尼比介于0.3~0.8之间（符合典型短周期模态品质要求）。若实部出现正值，则判定为不稳定发散模态。

模态特性可视化

结果解读与工程判定

计算得到的特征值实部为-0.6（负值），表明短周期扰动随时间衰减，纵向运动稳定。阻尼比ζ=0.354处于0.3~0.8的典型范围，满足一般飞行品质要求（Level 2）；自然频率ω_n=1.70 rad/s对应周期约3.7s，符合轻型无人机短周期模态的典型频带。若需改善操纵响应品质，可通过增大平尾面积或调整重心位置提高阻尼比至0.5~0.7区间。