3. 抽样检验的统计原理

抽样检验之所以能用一个样本去判断整批产品是否可接收，根本原因在于它建立在概率分布之上。理解这一章，关键不是背公式，而是弄清三件事：接收概率怎么算、OC曲线怎么读、两类风险怎么定。这三件事共同决定了抽样方案是否合理。

一、从“批中实际有多少不合格品”出发：超几何分布

设批量 N，其中不合格品数为 D，从批中不放回抽取 n 件，样本中不合格品数为 X。由于是不放回抽样，X 服从超几何分布：

P(X = d) = C(D, d) · C(N − D, n − d) / C(N, n)

接收概率 L 就是样本不合格品数不超过接收数 Ac 的累积概率：

L(D) = Σ(d = 0 到 Ac) C(D, d) · C(N − D, n − d) / C(N, n)

超几何分布是计数抽样最“精确”的模型，因为它同时考虑了批量 N、不合格品数 D 和抽样方式。举例说明：N = 500，D = 25（即批不合格品率 p = 5%），n = 50，Ac = 2。此时样本中不合格品数的期望约为 2.5，接收概率大致在 0.54 附近。也就是说，即使批不合格品率已达 5%，仍有约一半概率被判接收——这正是抽样检验“以样本推断整批”的固有不确定性。

二、批量很大时：二项分布与泊松分布近似

当 N 远大于 n（工程上常以 N ≥ 10n 作为经验界限）时，不放回抽样对批组成的影响很小，可近似看作放回抽样，此时 X 服从二项分布：

P(X = d) = C(n, d) · p^d · (1 − p)^(n − d)
L(p) = Σ(d = 0 到 Ac) C(n, d) · p^d · (1 − p)^(n − d)

二项分布只依赖 n、p、Ac，不再单独依赖 N，这也是很多抽样表按 n 和 Ac 给出方案的原因。进一步地，当 p 较小且 n 较大（通常 p ≤ 0.1、n ≥ 20 时可考虑）时，可用泊松分布近似：

P(X = d) = (n·p)^d · e^(−n·p) / d!
L(p) = Σ(d = 0 到 Ac) (n·p)^d · e^(−n·p) / d!

泊松分布把参数集中到 λ = n·p 上，计算最简便，适合快速估算。三种分布的关系可以概括为：超几何最精确，二项分布适用于大总体，泊松分布适用于小不合格品率。选择哪种模型，取决于 N、n、p 的相对大小以及所需精度。

三、OC曲线：抽样方案的“性格画像”

把不同不合格品率 p 对应的接收概率 L(p) 画成曲线，就是OC曲线（Operating Characteristic Curve）。它是一条从左上向右下下降的曲线：p 越小，接收概率越高；p 越大，接收概率越低。OC曲线完整描述了一个抽样方案（n、Ac）的判别能力。

读OC曲线要抓住两个关键点：

• AQL点：可接收质量水平。当批不合格品率等于 AQL 时，接收概率应较高（通常 ≥ 95%），对应生产方风险 α = 1 − L(AQL)，一般控制在 5% 左右。
• LTPD点：批容许不合格品率。当批不合格品率等于 LTPD 时，接收概率应较低（通常 ≤ 10%），对应使用方风险 β = L(LTPD)，一般控制在 10% 左右。

OC曲线越陡，说明方案对质量变化的区分能力越强；曲线越平缓，说明方案“宽容度”越大，好批坏批都容易接收。增大 n 或减小 Ac，曲线会变陡，但检验成本上升。因此抽样方案设计本质上是在判别能力与检验成本之间取平衡。

四、接收概率与两类风险的计算逻辑

接收概率 L(p) 是 OC曲线的纵坐标，也是风险计算的起点。以 N = 500、n = 50、Ac = 2 为例，用二项分布近似计算：

p = 1%：L = P(X≤2) ≈ 0.986
p = 3%：L = P(X≤2) ≈ 0.812
p = 5%：L = P(X≤2) ≈ 0.540
p = 10%：L = P(X≤2) ≈ 0.112

若规定 AQL = 1%、LTPD = 10%，则：

• 生产方风险 α = 1 − L(1%) ≈ 1.4%，小于 5%，说明好批被拒收的风险可接受；
• 使用方风险 β = L(10%) ≈ 11.2%，略高于 10%，说明坏批被接收的风险偏大。

若要把 β 降到 10% 以下，可以增大 n 或减小 Ac。例如把 Ac 改为 1，则 L(10%) 会明显下降，但 L(1%) 也会下降，α 随之上升。这就是两类风险此消彼长的关系：在 n 不变时，降低 β 往往以升高 α 为代价。实际方案设计时，通常先固定 AQL 和 LTPD，再通过查表或迭代计算找到同时满足 α ≤ 5%、β ≤ 10% 的 n 和 Ac 组合。

五、三种分布模型的选择与验证

实际工作中不必每次都从超几何分布算起，可按以下顺序判断：

验证模型是否合适，可以比较两种模型算出的 L(p) 差异。若差异在 1%～2% 以内，说明近似可接受；若差异明显，应回到更精确的模型。对于 ISO 2859 系列标准中的抽样表，其接收概率和风险水平已经过系统计算，直接查表使用即可，但理解背后的分布逻辑，才能在遇到非标准批量、非标准 AQL 或特殊检验水平时做出正确判断。