📚 课程目录第4章接收概率的计算逻辑

4. 接收概率的计算逻辑

在抽样检验中，接收概率 L(p) 是 OC 曲线的纵坐标，它回答的是：当一批产品真实不合格率为 p 时，按给定抽样方案 (n, Ac) 抽检，判为接收的概率有多大。计算 L(p) 的核心，是求出样本中不合格品数 d 不超过接收数 Ac 的累积概率。而 d 服从什么分布，取决于批量 N、样本量 n 与不合格率 p 之间的关系。选错分布，算出的接收概率就会偏离真实值，进而影响 OC 曲线的形状和抽样风险判断。

三种分布的适用条件

抽样检验中常用的三个分布，本质上是同一问题的三种近似层次，适用条件由“抽样是否有放回”和“批量相对样本量是否足够大”决定。

超几何分布是最精确的模型。它描述的是从有限批量 N 中不放回抽取 n 件产品时，样本中不合格品数 d 的分布。当批量为 N、批中不合格品总数为 D = N·p 时，接收概率为：

L(p) = Σ(d=0→Ac) [ C(D, d) · C(N-D, n-d) ] / C(N, n)

超几何分布不需要任何近似条件，只要 N 有限、抽样不放回，它都成立。缺点是组合数计算量大，手工计算困难。它最适合小批量、大抽样比（n/N 较大，例如超过 0.1）的场合，比如 N=50、n=10 的破坏性检验。

二项分布是超几何分布在批量很大时的近似。当 N 相对于 n 足够大（工程上常取 n/N ≤ 0.1），不放回抽样对批中不合格率的影响可以忽略，此时可把每次抽取近似看作独立、不合格率恒为 p 的伯努利试验。接收概率为：

L(p) = Σ(d=0→Ac) C(n, d) · p^d · (1-p)^(n-d)

二项分布只依赖 n、p、Ac 三个参数，与批量 N 无关，这是它被广泛用于计数抽样标准（如 GB/T 2828.1）的根本原因。它适用于批量较大、抽样比很小的连续批检验。

泊松分布是二项分布在 n 较大、p 较小（工程上常取 p ≤ 0.1 且 np 适中）时的进一步近似。令 λ = np 为样本中不合格品数的期望，接收概率为：

L(p) = Σ(d=0→Ac) e^(-λ) · λ^d / d!

泊松分布计算最简便，只需一个参数 λ。它适用于不合格率很低、样本量较大的场合，例如电子产品焊点缺陷、纺织品疵点等“单位产品上缺陷数”型检验。注意：当 p 较大时，泊松近似会明显低估接收概率，不宜使用。

手算接收概率：以二项分布为例

设抽样方案为 n=50、Ac=2，批量 N=2000，估计批不合格率 p=0.03。先判断抽样比 n/N = 50/2000 = 0.025 ≤ 0.1，可用二项分布近似。逐项计算 d=0、1、2 的概率：

d=0: C(50,0)·0.03^0·0.97^50 = 1·1·0.2181 = 0.2181
d=1: C(50,1)·0.03^1·0.97^49 = 50·0.03·0.2249 = 0.3373
d=2: C(50,2)·0.03^2·0.97^48 = 1225·0.0009·0.2318 = 0.2556

L(0.03) = 0.2181 + 0.3373 + 0.2556 = 0.8110

即当批真实不合格率为 3% 时，该方案约有 81.1% 的概率判为接收。手算时要注意：0.97 的高次幂可用对数或逐步连乘，d=2 的组合数 C(50,2)=1225 不要算错。若改用泊松分布，λ=np=50×0.03=1.5，则 L= e^(-1.5)(1+1.5+1.125)=0.2231×3.625≈0.8088，与二项结果仅差约 0.002，说明本例泊松近似也可接受。

软件计算：Python 与 Excel

实际工作中批量计算 OC 曲线时，用软件更高效。Python 的 scipy.stats 可直接调用三种分布：

from scipy.stats import hypergeom, binom, poisson

N, n, Ac, p = 2000, 50, 2, 0.03
D = int(N * p)

# 超几何（精确）
L_h = hypergeom.cdf(Ac, N, D, n)

# 二项（近似）
L_b = binom.cdf(Ac, n, p)

# 泊松（近似）
L_p = poisson.cdf(Ac, n * p)

print(L_h, L_b, L_p)   # 约 0.8107 0.8110 0.8088

Excel 中对应函数为 HYPGEOM.DIST、BINOM.DIST 和 POISSON.DIST，最后一个参数 cumulative 设为 TRUE 即得累积概率。例如 =BINOM.DIST(2,50,0.03,TRUE) 返回 0.8110。要画 OC 曲线，只需把 p 从 0 到 0.15 按步长 0.005 生成一列，对每个 p 计算 L(p)，再插入散点图即可。

判断用哪个分布的实用口诀：先算抽样比 n/N。大于 0.1 用超几何；不大于 0.1 用二项；若同时 p 很小（≤0.1）且 n 较大，可用泊松快速估算。三者结果接近时，优先选计算最简便的那个；结果差异明显时，以超几何为准。

常见错误：在 n/N 较大时仍用二项分布，会低估抽样对批质量的“消耗”效应，使接收概率偏高；在 p 较大（如 0.2 以上）时用泊松分布，会明显低估接收概率。此外，计算累积概率时不要漏掉 d=0 这一项，它是低不合格率下接收概率的主要贡献者。

三种分布结果对比与选用建议

分布	核心参数	适用条件	本例 L(0.03)	计算难度
超几何	N, D, n, Ac	不放回，任意 n/N	0.8107	高
二项	n, p, Ac	n/N ≤ 0.1	0.8110	中
泊松	λ=np, Ac	p ≤ 0.1 且 n 较大	0.8088	低

从表中可见，本例三种分布结果相差不到 0.003，选用哪种都不影响判断。但当 n/N 增大到 0.3 以上、或 p 超过 0.1 时，差异会迅速放大。因此，计算接收概率的第一步永远是判断适用条件，而不是直接套公式。掌握了三种分布的适用边界和计算路径，就能为后续绘制 OC 曲线、评估生产方风险与使用方风险打下可靠基础。