4. 寿命分布与样本量

加速寿命试验的样本量不是先定一个“看起来够用”的数字，而是由寿命分布假设、加速模型、试验截尾方式和判据共同反推出来的。同一批产品，如果假设为指数分布、威布尔分布或对数正态分布，所需样本量可能相差数倍。理解这三种分布下样本量计算的关键参数与差异，是避免“样本量拍脑袋”的核心。

一、三种分布的本质差异

指数分布只有一个参数——失效率 λ（或平均寿命 θ=1/λ），其失效率恒定，故障由随机事件主导，不区分早期失效与耗损失效。威布尔分布有形状参数 β 和尺度参数 η，β<1 表示早期失效、β=1 退化为指数分布、β>1 表示耗损失效，因此它能描述失效机理随时间的演变。对数正态分布用对数寿命的均值 μ 和标准差 σ 描述，其失效率先升后降，适合描述磨损、疲劳、腐蚀等由累积损伤引起的失效。

这一差异直接决定了样本量计算中“需要估计几个参数”。指数分布只需估计 1 个参数，威布尔和对数正态各需估计 2 个参数。参数越多，同样置信度与精度下所需样本量越大，这是三者样本量差异的第一层来源。

二、指数分布：以总试验时间为核心

指数分布下，样本量计算通常不直接求 n，而是先确定“总试验时间 T=n·t”和“允许失效数 r”。在定时截尾、允许 r 个失效的条件下，常用公式为：

T = χ²(2r+2, 1-α) / (2·λ₀)
n = T / t_test

其中 λ₀ 是加速应力下可接受的失效率上限，α 为置信水平，t_test 为单只样品的试验时长。例如某电子模块在加速应力下要求 λ₀=1×10⁻⁵/h，取 r=0、α=0.9，查表得 χ²(2,0.9)≈4.605，则 T=4.605/(2×10⁻⁵)=230250 h。若单只试验 1000 h，则 n≈231 只。可见指数分布下样本量由“总时间”决定，增加单只试验时长可直接减少样本数。

三、威布尔分布：形状参数 β 是隐藏变量

威布尔分布样本量计算的关键难点在于 β 未知。工程上通常先根据历史数据或同类产品假定 β 值，再计算所需失效数 r。若用最大似然估计，β 的相对误差近似与失效数 r 的平方根成反比：

r ≈ (z_(1-α/2) / δ_β)² · (1.109 / β²)

其中 δ_β 为 β 允许的相对误差。例如要求 β 估计误差不超过 20%，取 α=0.95（z≈1.96），β=2.0，则 r≈(1.96/0.2)²×(1.109/4)≈26.6，即至少需要约 27 个失效。若加速试验中失效比例只有 30%，则总样本量 n≈27/0.3=90 只。这里 β 越大，所需失效数反而越少，因为大 β 意味着失效时间集中、信息量大。

四、对数正态分布：σ 决定样本量上限

对数正态分布下，样本量主要取决于对数寿命标准差 σ 和允许的均值估计误差 δ：

n = (z_(1-α/2) · σ / δ)²

例如某轴承寿命服从对数正态分布，历史 σ=0.8，要求平均寿命估计误差不超过 15%，取 α=0.95，则 n=(1.96×0.8/0.15)²≈109 只。若 σ 增大到 1.2，则 n≈246 只。σ 是样本量最敏感的输入，因此对数正态分布下必须先通过历史数据或预试验获得可靠的 σ 估计。

五、三者差异的工程判断

实际工程中，若无法确定分布类型，可先用威布尔分布拟合预试验数据，观察 β 是否接近 1：若 β≈1，可退化为指数分布以节省样本；若 β>1 且对数变换后近似正态，则可考虑对数正态分布。样本量设计不是一次算完，而是“假设—预试验—修正—正式试验”的迭代过程。三种分布的核心差异可以归纳为：指数分布用时间换样本，威布尔分布用失效数换精度，对数正态分布用 σ 先验换置信度。