3. 齐次变换矩阵

在手眼标定中，机器人末端执行器与相机之间的空间关系，以及标定板与机器人基座之间的位姿变换，都需要通过齐次变换矩阵进行统一描述。本节将系统梳理旋转矩阵、平移向量、齐次坐标以及4×4齐次变换矩阵的数学表示与组合运算规则，为后续标定方程构建与参数优化奠定基础。

3.1 旋转矩阵：三维空间姿态的数学描述

旋转矩阵是一个3×3的正交矩阵（R^TR = I，det(R)=+1），用于描述刚体在三维空间中的纯旋转运动。其每一列代表旋转后坐标系各轴在原坐标系中的方向余弦。

绕三个坐标轴的基本旋转矩阵（右手法则）：

R_x(θ) = [[1, 0, 0],
          [0, cosθ, -sinθ],
          [0, sinθ,  cosθ]]

R_y(θ) = [[ cosθ, 0, sinθ],
          [ 0,    1, 0],
          [-sinθ, 0, cosθ]]

R_z(θ) = [[cosθ, -sinθ, 0],
          [sinθ,  cosθ, 0],
          [0,     0,    1]]

3.2 平移向量：三维空间位置的简洁表示

平移向量 t = [t_x, t_y, t_z]^T 是一个3×1的列向量，表示坐标系原点之间的位移。在手眼标定中，平移向量通常与旋转矩阵配合使用，共同描述两个坐标系之间的完整位姿关系。

3.3 齐次坐标：将旋转与平移统一为线性运算

三维空间中的点 P = [x, y, z]^T 的齐次坐标表示为 P̃ = [x, y, z, 1]^T。引入齐次坐标的核心目的是：将旋转和平移合并为一次线性变换，避免非线性的加法运算。

3.4 4×4齐次变换矩阵：位姿的完整数学封装

4×4齐次变换矩阵 T 将旋转矩阵与平移向量整合为一个方阵：

T = [[R<sub>3×3</sub>, t<sub>3×1</sub>],
     [0<sub>1×3</sub>, 1]]

   = [[r<sub>11</sub>, r<sub>12</sub>, r<sub>13</sub>, t<sub>x</sub>],
      [r<sub>21</sub>, r<sub>22</sub>, r<sub>23</sub>, t<sub>y</sub>],
      [r<sub>31</sub>, r<sub>32</sub>, r<sub>33</sub>, t<sub>z</sub>],
      [0,    0,    0,    1]]

齐次变换矩阵的逆矩阵可直接通过分块求逆得到：

T<sup>-1</sup> = [[R<sup>T</sup>, -R<sup>T</sup>·t],
          [0,     1]]

T<sub>AC</sub> = T<sub>AB</sub> · T<sub>BC</sub>

P̃<sub>C</sub> = T<sub>BC</sub><sup>-1</sup> · T<sub>AB</sub><sup>-1</sup> · P̃<sub>A</sub>

T<sub>base_to_cam</sub> · T<sub>cam_to_board</sub> = T<sub>base_to_ee</sub> · T<sub>ee_to_board</sub>