2. 坐标系基础

手眼标定的本质是求解不同坐标系之间的空间变换矩阵。在机器人视觉引导系统中，通常涉及五个核心坐标系：世界坐标系、机器人基坐标系、工具坐标系、相机坐标系和标定板坐标系。理解它们之间的变换关系是进行标定参数优化与精度验证的前提。

2.1 五大坐标系定义与作用

2.2 坐标系变换的数学表示

任意两个坐标系之间的变换关系可以用一个 4×4 齐次变换矩阵 表示，包含旋转分量 R（3×3）和平移分量 t（3×1）：

| R   t |
| 0   1 |    其中 R ∈ SO(3), t ∈ ℝ³

常用变换矩阵符号及其含义：

• ᵇTₜ：从工具坐标系{T}到机器人基坐标系{B}的变换（机器人正向运动学提供）。
• ᶜTₚ：从标定板坐标系{P}到相机坐标系{C}的变换（通过PnP算法从图像计算得到）。
• ᵇTₚ：从标定板坐标系{P}到机器人基坐标系{B}的变换（间接计算或外部测量）。
• ᵇTₜ 与 ᶜTₚ 是手眼标定方程中的已知量，待求量为 ᵗTₜ（眼在手上）或 ᵇTₜ（眼在手外）。

2.3 坐标系变换链与手眼标定方程

在眼在手上（Eye-in-Hand）配置中，相机固定在机器人末端工具上。变换链为：

{P} →^ᶜTₚ→ {C} →^ᵗTₜ→ {T} →^ᵇTₜ→ {B}

由此得到闭环方程：

ᵇTₚ = ᵇTₜ · ᵗTₜ · ᶜTₚ

对于两次不同的机器人位姿（i 和 j），标定板固定不动，则 ᵇTₚ 为常量，消去后得到经典手眼标定方程：

(ᵇTₜⱼ⁻¹ · ᵇTₜᵢ) · ᵗTₜ = ᵗTₜ · (ᶜTₚⱼ · ᶜTₚᵢ⁻¹)

简写为：AX = XB，其中 A 为机器人末端运动，B 为相机观测到的标定板运动，X 为待求的手眼矩阵。

2.4 坐标系变换关系总览（SVG）

下图展示了五个坐标系之间的完整变换关系，以及手眼标定方程中涉及的矩阵路径：

2.5 坐标系变换的精度影响因素

每个变换矩阵的精度都会影响最终标定结果。下表总结了各变换的主要误差来源：

2.6 眼在手外配置的变换关系

在眼在手外（Eye-to-Hand）配置中，相机固定安装在机器人工作空间上方，不随机器人运动。此时变换链变为：

{P} →^ᶜTₚ→ {C} →^ᵇTₜ→ {B} →^ᵇTₜ⁻¹→ {T}

对应的手眼标定方程为：

ᵇTₜ · ᶜTₚ = ᵇTₚ

其中 ᵇTₜ 为待求的相机到机器人基坐标系的变换矩阵。通过移动机器人到多个位姿，记录 ᵇTₜ（运动学）和 ᶜTₚ（视觉观测），即可求解。

两种配置的选择取决于应用场景：

• 眼在手上：适合需要跟随工具移动、近距离观察工件的场景（如焊接、装配）。
• 眼在手外：适合大范围全局定位、工具遮挡少的场景（如码垛、分拣）。

2.7 坐标系变换的工程实践要点

1. 统一单位：所有变换矩阵中的平移分量必须使用相同单位（通常为毫米）。
2. 旋转表示一致性：在计算过程中，统一使用旋转矩阵或四元数，避免欧拉角带来的万向锁问题。
3. 数据记录：每次采集数据时，同步记录机器人位姿（ᵇTₜ）和标定板位姿（ᶜTₚ），确保时间戳对齐。
4. 冗余观测：至少采集 10~15 组不同位姿的数据，覆盖机器人工作空间的不同区域和姿态。
5. 验证闭环：标定完成后，使用一组未参与标定的测试数据，计算重投影误差或三维定位误差。