4. 极值法尺寸链计算
极值法（也称完全互换法）是尺寸链计算中最基础、也最保守的方法。它的核心假设只有一句话：所有组成环同时取到各自的最不利极限值。也就是说，当增环全部取最大、减环全部取最小时，封闭环达到最大；反之封闭环达到最小。只要按这个最坏组合算出的封闭环仍满足设计要求，那么任意随机装配组合都一定合格，零件可以完全互换，不需要挑选、修配或调整。
一、从传递系数到极值法基本公式
设尺寸链共有 n 个组成环，第 i 个组成环的基本尺寸为 Ai，传递系数为 ξi。传递系数描述该环对封闭环的影响方向与比例：增环 ξ=+1，减环 ξ=−1。封闭环基本尺寸为：
A₀ = Σ ξᵢ·Aᵢ = Σ(增环 Aᵢ) − Σ(减环 Aᵢ)把每个组成环的极限偏差代入，就得到封闭环的极限尺寸。设增环上偏差为 ES、下偏差为 EI，减环同样用 ES、EI 表示，则：
封闭环最大极限尺寸 A₀max = Σ(增环 Aᵢmax) − Σ(减环 Aᵢmin)
封闭环最小极限尺寸 A₀min = Σ(增环 Aᵢmin) − Σ(减环 Aᵢmax)
封闭环上偏差 ES₀ = Σ(增环 ESᵢ) − Σ(减环 EIᵢ)
封闭环下偏差 EI₀ = Σ(增环 EIᵢ) − Σ(减环 ESᵢ)
封闭环公差 T₀ = Σ Tᵢ （各组成环公差之和）最后一条 T₀ = ΣTᵢ 是极值法最重要的结论：封闭环公差等于所有组成环公差之和，与各环基本尺寸大小无关，也与增环减环的划分无关。它直接决定了极值法的适用边界——组成环越多，公差累积越严重，留给每个零件的公差就越紧，加工成本迅速上升。
二、增环与减环的判断方法
判断增环减环，本质是判断“该环变大时，封闭环跟着变大还是变小”。工程上有三种常用手段，建议按顺序使用：
- 定义法（最可靠）：在其他组成环不变的条件下，令该环尺寸增大，若封闭环随之增大，则为增环；若封闭环随之减小，则为减环。
- 回路法（画箭头）：从封闭环一端出发，沿尺寸链回路依次给每个组成环画箭头，方向与封闭环箭头一致者为减环，相反者为增环。此法适合环数多、结构复杂的装配链。
- 公式校验法：用 A₀ = Σ增环 − Σ减环 反算，若结果与图纸封闭环基本尺寸一致，说明增减环划分正确；若差一个符号或数值对不上，多半是某个环判反了。
三、典型算例：轴与孔装配间隙链
以常见的“轴装入孔后要求留有轴向间隙”为例。设孔深 A₁ = 40+0.100 mm，轴肩长度 A₂ = 39.50−0.05 mm，装配后要求间隙 A₀ 在 0.20～0.60 mm 之间。判断：孔深增大使间隙增大，A₁ 为增环；轴长增大使间隙减小，A₂ 为减环。
基本尺寸：A₀ = 40 − 39.5 = 0.5 mm
A₀max = A₁max − A₂min = 40.10 − 39.45 = 0.65 mm
A₀min = A₁min − A₂max = 40.00 − 39.50 = 0.50 mm
ES₀ = (+0.10) − (−0.05) = +0.15 mm
EI₀ = 0 − 0 = 0
T₀ = T₁ + T₂ = 0.10 + 0.05 = 0.15 mm计算结果为 A₀ = 0.5+0.150 mm，即实际间隙落在 0.50～0.65 mm。而设计要求是 0.20～0.60 mm，最大间隙 0.65 超出上限 0.60，说明当前公差分配不满足要求。解决方向有两个：一是压缩组成环公差（如把孔深改为 40+0.080、轴长改为 39.5−0.02−0.05），二是调整基本尺寸使公差带整体下移。这正是极值法在工程中的典型用法——先算极限，再判断是否超差，最后反向调整公差。
四、极值法的适用场景与边界
极值法最适合完全互换装配：零件无需挑选、无需修配、无需调整，任意一件装上都能满足要求。典型场景包括大批量标准件装配、汽车与家电的流水线装配、外购件与自制件混装的场合。它的优点是计算简单、结论绝对可靠、便于车间直接执行；缺点是当组成环数量多（一般超过 4～5 环）或公差要求较紧时，分摊到每个零件的公差会小到难以经济加工。
因此工程上有一条经验判断：环数少、精度要求一般、批量大且强调互换性时用极值法；环数多、精度要求高、单件小批或允许选配调整时改用概率法（大数互换法）。概率法利用 T₀ = √(ΣTᵢ²) 的平方和关系，允许极少数组合超差，从而显著放宽单件公差，但代价是存在一定的不合格率，需要配合抽检或选配。
五、计算校核清单
完成一次极值法计算后，建议按以下顺序自查，避免常见错误：
| 校核项 | 检查内容 | 常见错误 |
|---|---|---|
| 封闭环识别 | 是否为装配后自然形成、不直接加工的尺寸 | 把加工尺寸误当封闭环 |
| 增减环判断 | 用定义法或回路法逐一确认 | 凭直觉判断导致符号反 |
| 基本尺寸 | Σ增环 − Σ减环 是否等于封闭环基本尺寸 | 漏环或重复计环 |
| 极限偏差 | 增环取 ES、减环取 EI 求 ES₀ | 减环偏差符号未取反 |
| 公差闭合 | T₀ 是否等于各组成环公差之和 | 用概率法公式混算 |
| 结果判定 | A₀max、A₀min 是否落在设计要求区间内 | 只看基本尺寸不看极限 |
把上述流程固化为习惯后，极值法计算就变成一套可复现的机械操作：识别封闭环 → 判断增减环 → 列基本尺寸式 → 代入极限偏差 → 求和得 T₀ → 与设计要求比对。只要每一步都留下书面记录，出现超差时就能快速定位是哪个环的公差分配不合理，从而有针对性地压缩或调整，而不是盲目整体加严。