4. GUM框架与不确定度传播律

GUM（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement）给出的不是一套“算误差”的公式，而是一条从原始输入量到最终测量结果的完整不确定度传递链。理解这条链的关键，是分清四个层次：标准不确定度、合成标准不确定度、扩展不确定度，以及把两者联系起来的包含因子。它们不是并列概念，而是逐级递进、层层放大的关系。

一、从输入量到输出量的传播结构

任何测量都可以写成测量模型 Y = f(X₁, X₂, …, Xₙ)。其中 Xᵢ 是各输入量（如标准器示值、温度、长度、电压等），Y 是输出量（即最终测量结果）。GUM 的核心思想是：输出量的不确定度由各输入量的不确定度通过灵敏度系数传播而来。因此，第一步永远是明确测量模型，而不是急着套公式。

每个输入量 Xᵢ 的标准不确定度记为 u(xᵢ)，它由两类评定得到：A 类评定来自重复观测的统计计算（如实验标准差除以根号 n），B 类评定来自证书、说明书、经验或假设分布（如均匀分布取半宽除以 √3）。两类评定得到的都是标准不确定度，量纲与对应输入量一致，这是后续合成的基础。

二、标准不确定度的两类评定

A 类评定针对可以重复观测的量。若对同一被测量重复测量 n 次，得到观测值 x₁…xₙ，则单次实验标准差为 s = √[Σ(xᵢ − x̄)²/(n−1)]，平均值的标准不确定度为 u = s/√n。例如某长度重复测量 10 次，算得 s = 0.012 mm，则平均值标准不确定度 u = 0.012/√10 ≈ 0.0038 mm。注意：A 类评定得到的是标准不确定度，不是扩展不确定度。

B 类评定针对无法重复观测、只能依据已有信息的量。常见做法是：若证书给出扩展不确定度 U 和包含因子 k，则标准不确定度 u = U/k；若只给出最大允许误差 ±a 且假设均匀分布，则 u = a/√3；若假设三角分布，则 u = a/√6。例如某标准器证书给出 U = 0.02 mm（k=2），则 u = 0.01 mm。B 类评定同样输出标准不确定度，量纲与输入量一致。

三、合成标准不确定度：传播律的核心

当各输入量相互独立时，合成标准不确定度按方和根计算：

u꜀(y) = √[ (c₁·u(x₁))² + (c₂·u(x₂))² + … + (cₙ·u(xₙ))² ]

其中 cᵢ = ∂f/∂Xᵢ 是灵敏度系数。若测量模型为 Y = X₁ + X₂，则 c₁ = c₂ = 1；若为 Y = X₁ · X₂，则 c₁ = X₂、c₂ = X₁，此时常用相对不确定度形式：[u꜀(y)/y]² = [u(x₁)/x₁]² + [u(x₂)/x₂]²。当输入量之间存在相关性时，必须加入协方差项 2·cᵢ·cⱼ·u(xᵢ,xⱼ)，否则会低估合成不确定度。

举一个教学示例（参数为合理假设）：测量模型 Y = L + Δ，其中 L 为标准器示值，u(L) = 0.01 mm，c_L = 1；Δ 为温度修正量，u(Δ) = 0.006 mm，c_Δ = 1。两者独立，则 u꜀(y) = √(0.01² + 0.006²) = √(0.0001 + 0.000036) = √0.000136 ≈ 0.0117 mm。可以看到，较大的分量主导了合成结果，这正是“抓大放小”判断依据的来源。

四、扩展不确定度与包含因子

合成标准不确定度对应的是约 68% 的置信水平，工程上通常需要更高的置信水平，于是引入扩展不确定度：

U = k · u꜀(y)

包含因子 k 的取值取决于分布假设和置信水平。在正态分布假设下，k=2 对应约 95%，k=3 对应约 99%。若合成不确定度的有效自由度较小，应按 Welch–Satterthwaite 公式计算有效自由度，再查 t 分布表得到 k，而不是简单取 2。例如上例 u꜀(y) ≈ 0.0117 mm，取 k=2，则 U ≈ 0.023 mm，最终报告为 Y = y ± 0.023 mm（k=2）。

五、传播律的适用边界

GUM 传播律基于一阶泰勒展开，要求测量模型在输入量附近近似线性、不确定度相对较小。若模型明显非线性，或某个输入量的不确定度大到使线性近似失效，应考虑二阶项或采用蒙特卡洛法（GUM Supplement 1）。此外，传播律假设输入量之间关系明确；若存在未识别的相关源（如共用标准器、同一温度修正），协方差项不可忽略。实际工作中，先画清测量模型和影响量清单，再逐项评定标准不确定度，最后按传播律合成，是避免漏项和重复计算的最稳妥路径。