4. 轨迹编码与泛化：DMP、ProMP、GMM

好，咱们进入第四章。这一章讲的是怎么把示教轨迹“存下来”，还能“变着花样用”。

你想想看，机器人学了一段动作，比如倒水、拧螺丝。如果只能原封不动地回放，换个杯子位置就洒了，那这模仿学习也太“死板”了。所以我们需要一套方法——把轨迹编码成一种可调参、可泛化的形式。

我个人习惯把这类方法分成三大流派：动态运动基元（DMP）、概率运动基元（ProMP）和高斯混合模型（GMM）。它们各有各的脾气，下面我一个个说。

4.1 动态运动基元（DMP）

DMP 是我最早接触的轨迹编码方法。说白了，它把一条复杂轨迹拆成两部分：一个线性弹簧-阻尼系统（保证收敛到目标点），加上一个非线性强迫项（拟合示教轨迹的形状）。

数学上长这样：

τ² * ÿ = α_y * (β_y * (g - y) - ẏ) + f(x)

其中：
- y, ẏ, ÿ 是位置、速度、加速度
- g 是目标点
- τ 是时间缩放因子
- α_y, β_y 是弹簧-阻尼系数（通常 β_y = α_y/4 保证临界阻尼）
- f(x) 是非线性强迫项，由一组径向基函数加权求和得到

我在项目中遇到过一个问题：DMP 对目标点 g 的变化非常敏感。如果你把目标点移得太远，轨迹形状会“拉伸变形”，甚至出现超调。后来我加了一个目标点缩放策略——把强迫项也按比例缩放，才稳住。

4.2 概率运动基元（ProMP）

DMP 有个硬伤——它只能处理单条示教轨迹。如果你录了 10 次“倒水”动作，每次手腕角度都不一样，DMP 就傻眼了。

ProMP 的思路是：把每条轨迹投影到一组基函数上，得到一个权重向量。然后对所有示教的权重向量拟合一个高斯分布。这样一来，你得到的不是一个轨迹，而是一个轨迹的概率分布。

举个例子：

# 伪代码示意
示教轨迹1 → 权重 w1
示教轨迹2 → 权重 w2
...
示教轨迹N → 权重 wN

最终模型：w ~ N(μ_w, Σ_w)

泛化时：给定新的起始/目标条件 p(y_t | obs)
          → 计算后验权重分布 p(w | obs)
          → 生成新轨迹 y = Φ^T * w

我记得有一次做装配任务，零件公差很小，需要机器人“试探着”插入。用 ProMP 就特别合适——它不仅能生成平均轨迹，还能给出方差信息，告诉机器人“这里可以多探索一下”。

4.3 高斯混合模型（GMM）

GMM 和前两种方法不太一样。它不假设轨迹是“时间驱动的”，而是把轨迹点看作高维空间中的样本点，然后用多个高斯分布去拟合这些点的分布。

你想想看，一条轨迹可以看作一系列 (t, x, y, z) 的点。GMM 会把这些点聚类成 K 个高斯分量，每个分量代表轨迹的一个“阶段”或“模式”。

生成轨迹时，用高斯混合回归（GMR）做条件概率预测：给定时间 t，预测最可能的位置。

GMM 建模步骤：
1. 收集所有示教轨迹的点 (t, pos)
2. 用 EM 算法拟合 K 个高斯分量
3. 每个分量有均值 μ_k 和协方差 Σ_k

GMR 生成步骤：
1. 输入时间 t*
2. 计算每个分量的责任度（权重）
3. 加权平均得到预测位置 pos*
4. 协方差给出置信区间

我曾经用 GMM 做抓取姿态学习。示教时记录了 50 次抓取杯子的手部姿态，GMM 自动聚类出 3 种典型抓取模式：从上方抓、从侧面抓、从斜角抓。新杯子出现时，GMM 根据杯子位置自动选择最合适的抓取模式。

4.4 三种方法的对比与选择

我把它们放在一张表里，方便你对比：

我个人习惯这样选：

• 任务明确、目标点变化大 → DMP。比如机器人从 A 点抓取工件放到 B 点，B 点每次不同。
• 多示教、需要不确定性 → ProMP。比如示教了多种“拧螺丝”手法，希望机器人能自适应。
• 动作离散、多模态 → GMM。比如机器人需要从多种抓取策略中选一个。

嗯，这一章的内容就到这里。三种方法各有千秋，没有的好坏。关键是你得清楚自己的任务场景——是连续还是离散？是单示教还是多示教？需不需要不确定性？想清楚这些，选型就不难了。