4. GLM理论基础

在非寿险纯保费定价中，广义线性模型（GLM）之所以成为行业标准工具，核心在于它用一套统一的数学框架，同时解决了三个定价难题：响应变量的非正态性（如索赔次数、赔付金额）、均值与方差的内在关联（如方差随均值增大）、以及风险因子效应的可加性建模。理解GLM，必须从它的五个理论支柱入手：指数族分布、连接函数、线性预测子、极大似然估计、偏差与残差。

一、指数族分布：统一概率分布的骨架

指数族分布是GLM的分布假设基础。若随机变量 Y 的概率密度或概率质量函数可写成如下形式，则称其属于指数族：

f(y; θ, φ) = exp{ [y·θ - b(θ)] / a(φ) + c(y, φ) }

其中 θ 称为自然参数，φ 为离散参数，b(θ) 为累积量函数。这一形式的关键价值在于：均值与方差可由 b(θ) 的导数直接导出——E(Y) = b′(θ)，Var(Y) = b″(θ)·a(φ)。这意味着只要选定分布，均值与方差的关系就被自动锁定，无需额外假设。

非寿险定价中最常用的三个指数族分布如下表所示：

分布	典型应用	方差函数 V(μ)	连接函数
泊松分布	索赔次数	μ	对数 log(μ)
伽马分布	案均赔款	μ²	对数 log(μ)
逆高斯分布	高偏态赔付	μ³	对数 log(μ)
正态分布	对数赔付额	1	恒等 μ

方差函数 V(μ) 刻画了均值与方差的关系。泊松的方差等于均值，伽马的方差与均值平方成正比——这正是非寿险数据“越大的风险波动越大”的数学表达。

二、连接函数与线性预测子：搭建回归桥梁

GLM的核心结构由三部分组成：随机成分（指数族分布）、系统成分（线性预测子 η = Xβ）、以及连接二者的连接函数 g(·)，满足 g(μ) = η。

连接函数的作用是将均值 μ 的取值范围映射到整个实数轴，使线性预测子 η = β₀ + β₁x₁ + … + βₚxₚ 可以自由取值。对数连接 g(μ) = log(μ) 是最常用的选择，因为它保证预测均值恒为正，且系数具有“乘性效应”的解释：exp(βⱼ) 表示因子 xⱼ 每增加一个单位，均值变为原来的 exp(βⱼ) 倍。

三、极大似然估计：参数求解的引擎

GLM的参数 β 通过极大化对数似然函数求解。对于独立观测样本，对数似然为：

ℓ(β) = Σᵢ [ yᵢ·θᵢ - b(θᵢ) ] / a(φ) + Σᵢ c(yᵢ, φ)

由于 θ 通过连接函数与 β 关联，似然函数通常没有解析解，需采用迭代加权最小二乘（IRLS）算法数值求解。IRLS的核心思想是：在每步迭代中，构造工作响应变量 zᵢ 和权重 wᵢ，然后执行加权最小二乘回归更新 β，直至收敛。

# R中拟合GLM的核心命令
model <- glm(claim_count ~ age + vehicle_type + region,
            family = poisson(link = "log"),
            data = policy_data)
summary(model)

输出中的系数估计、标准误、z值和p值，均基于似然函数的渐近正态性质。需要特别关注离散参数 φ 的估计：泊松分布假设 φ=1，若实际数据存在过离散（overdispersion），需改用准泊松或负二项模型。

四、偏差与残差：模型拟合的度量

偏差（Deviance）是GLM中衡量拟合优度的核心指标，定义为饱和模型与当前模型对数似然之差的二倍：

D = 2[ℓ(饱和模型) - ℓ(当前模型)]

偏差越小，拟合越好。在嵌套模型比较中，偏差之差近似服从卡方分布，可用于假设检验。残差则用于逐点诊断：

• 偏差残差：每个观测对总偏差的贡献，符号反映预测偏高或偏低。
• 皮尔逊残差：(yᵢ - μ̂ᵢ) / √V(μ̂ᵢ)，直接衡量标准化偏差。
• 工作残差：IRLS迭代中的中间量，用于诊断线性预测子的尺度。

五、模型假设与诊断：避免定价陷阱

GLM的有效性依赖若干假设，定价实务中最容易踩坑的有三类：

1. 分布假设错误：用泊松拟合过离散的索赔次数，导致标准误被低估、显著性被高估。
2. 连接函数不当：对恒为正的赔付额使用恒等连接，可能产生负的预测均值。
3. 线性预测子设定偏差：连续变量（如车龄）直接线性放入模型，忽略非线性效应。

掌握这五个理论支柱后，GLM就不再是黑箱。在后续的纯保费定价项目中，无论是选择分布、设定连接函数，还是诊断模型问题，都可以回到这套框架中寻找依据。理论的价值，最终体现在每一次系数解释和模型比较的决策中。