3. 收益与风险度量

资产配置的第一性问题不是“买什么”，而是“如何把收益与风险翻译成可计算的数字”。只有把历史价格、预期判断和约束条件统一到同一套度量体系里，均值方差优化才有意义。本节围绕四个核心度量展开：收益的两种口径、期望收益的估计方法、方差与标准差、协方差与相关系数。

一、算术收益与几何收益：别让平均值骗了你

算术收益是对单期收益的简单平均，几何收益则反映多期复利后的真实年化增长。假设某资产第一年涨50%，第二年跌50%，算术平均收益为0%，但实际资金从1变为1.5再变为0.75，累计亏损25%，几何收益约为-13.4%。这就是波动拖累（volatility drag）。

算术收益: r_a = (r_1 + r_2 + ... + r_n) / n
几何收益: r_g = [(1+r_1)(1+r_2)...(1+r_n)]^(1/n) - 1
近似关系: r_g ≈ r_a - σ²/2

在资产配置中，期望收益估计应尽量使用几何收益或对算术收益做波动调整，否则优化器会高估高波动资产的长期回报，导致过度配置。实务中常见做法是：用几何收益作为长期预期，用算术收益做单期情景分析。

二、期望收益估计：从历史到前瞻

期望收益是均值方差优化的输入核心，但也是最不稳定的参数。常见估计方法有三类：

• 历史均值法：直接使用过去N期收益的平均值，简单但受样本区间影响大。
• 收缩估计法：将历史均值向市场均衡收益或全局均值收缩，降低极端值影响。
• 情景加权法：结合宏观判断，对不同情景赋予概率后加权。

无论哪种方法，都要注意频率一致性：日收益、月收益、年收益之间需要正确年化。日收益年化通常乘以252，月收益年化乘以12，但几何年化应使用复利公式而非简单乘法。

年化算术收益 = 月均收益 × 12
年化几何收益 = (1 + 月均几何收益)^12 - 1
年化波动率 = 月波动率 × sqrt(12)

三、方差、标准差与协方差：风险的坐标系

方差衡量收益围绕均值的离散程度，标准差是方差的平方根，单位与收益一致，更直观。在组合层面，真正决定风险的不是单个资产的方差，而是资产之间的协方差。

组合方差公式为：σ_p² = w_A²σ_A² + w_B²σ_B² + 2w_Aw_Bρσ_Aσ_B。当ρ=1时，分散化无效；当ρ<1时，组合风险低于加权平均风险；当ρ=-1时，理论上可构造零风险组合。

四、案例：用相关系数判断分散化效果

假设股票A年化收益8%、波动20%，债券B年化收益3%、波动6%。若两者相关系数为0.2，按60/40配置：

σ_p² = 0.6²×0.20² + 0.4²×0.06² + 2×0.6×0.4×0.2×0.20×0.06
     = 0.0144 + 0.000576 + 0.001152
     = 0.016128
σ_p ≈ 12.7%

组合波动12.7%，低于股票单独20%，也低于加权平均15.6%。若相关系数升至0.8，组合波动将升至约14.9%，分散化效果明显减弱。这说明相关系数是资产配置的隐形杠杆。

五、复盘与常见误区

1. 混用算术与几何收益：优化器输入算术收益、回测用几何收益，导致结果不可比。
2. 忽略年化频率：日波动率直接乘以12当作年化，正确应为乘以sqrt(12)。
3. 相关系数用错窗口：用全历史相关系数配置近期组合，可能低估危机时的联动性。
4. 把标准差当唯一风险：标准差假设收益对称分布，对尾部风险不敏感，需结合最大回撤等指标。