2. 期权基础回顾
在进入 Longstaff-Schwartz 最小二乘蒙特卡洛（LSM）定价之前，我们必须把期权最基础的概念重新校准一遍。很多定价代码出错，并不是算法写错，而是对“什么时候可以行权”“价值由哪几块构成”理解模糊。本节把欧式与美式期权放在同一张价值坐标系里对比，为后续的回归定价打下概念地基。
一、核心定义：欧式 vs 美式
欧式期权（European Option）只允许在到期日 T 当天行权，行权时刻是唯一的、确定的。它的定价相对简单，Black-Scholes 公式就是为它量身定制的。美式期权（American Option）则允许在到期日之前的任意时刻（含到期日）行权，行权时刻是一个可自由选择的停时（stopping time）。这个“随时可行权”的权利，正是美式期权比欧式期权更贵的原因。
从数学上看，美式期权的价值可以写成最优停时问题：
V_American = sup_{τ ∈ [0,T]} E[ e^{-rτ} · payoff(S_τ) ]
V_European = E[ e^{-rT} · payoff(S_T) ]其中 τ 是停时，payoff 是收益函数。欧式只是把 τ 固定为 T 的特例。理解这一点，就能明白为什么美式期权必须用数值方法（如 LSM）来求解——因为要在一整条路径上寻找最优行权点。
二、行权特征与提前行权直觉
美式期权是否应该提前行权，取决于“继续持有的期权价值”与“立即行权收益”谁更大。对于美式看涨期权，在无股息（无分红）的情况下，提前行权永远不是最优的，因为延迟支付行权价 K 可以赚取利息，同时保留时间价值，所以此时美式看涨价值等于欧式看涨价值。但一旦标的支付股息，提前行权就可能变得有利。
对于美式看跌期权，情况不同：当标的资产价格跌得足够深时，立即行权可以提前拿到 K - S 的现金，并让这笔钱去赚取利息，因此深度实值的美式看跌期权往往会被提前行权。这个“提前行权边界”正是 LSM 算法要逼近的核心对象。
三、内在价值与时间价值
期权价格可以拆成两部分：内在价值（Intrinsic Value）与时间价值（Time Value）。
- 内在价值：立即行权能获得的收益。看涨为
max(S - K, 0)，看跌为max(K - S, 0)。它永远非负。 - 时间价值：期权价格减去内在价值。它反映的是“未来价格可能变得更有利”的期望，随到期日临近而衰减。
对美式期权而言，期权价格永远不低于其内在价值，否则就存在无风险套利。而欧式期权在深度实值时，价格可能低于内在价值（因为不能立即行权）。这个差异是理解美式定价的关键。
四、常见术语清单
下面这张表把本节涉及的核心术语集中列出，后续章节会反复使用，建议对照记忆。
| 术语 | 英文 | 含义 |
|---|---|---|
| 行权价 | Strike Price (K) | 买卖标的资产的约定价格 |
| 到期日 | Maturity (T) | 期权合约失效的日期 |
| 内在价值 | Intrinsic Value | 立即行权可获得的收益 |
| 时间价值 | Time Value | 期权价格中超出内在价值的部分 |
| 实值/平值/虚值 | ITM / ATM / OTM | 按内在价值是否为正划分的三种状态 |
| 提前行权 | Early Exercise | 美式期权在到期前行权 |
| 停时 | Stopping Time | 决定何时行权的随机时刻 |
| 行权边界 | Exercise Boundary | 最优行权对应的标的价格临界线 |
五、案例与误区复盘
考虑一个美式看跌期权：S=80, K=100, r=5%, σ=20%, T=1年。它的内在价值是 20。如果立即行权，可以拿到 20 元现金并立即开始赚取利息；如果继续持有，虽然还有时间价值，但标的已经深度实值，继续下跌空间有限。此时提前行权往往是最优的，美式价格会明显高于欧式价格。
把本节的概念落到代码里，判断是否行权的逻辑可以抽象成下面这段伪代码，后续 LSM 章节会在此基础上展开：
for t in reversed(range(N)): # 从到期日向前回溯
immediate = payoff(S[:, t]) # 立即行权收益
if t == N-1:
cashflow = immediate # 到期日只能行权
else:
continuation = regression(S[:, t], discounted_future_cashflow)
exercise = immediate > continuation
cashflow[exercise] = immediate[exercise]
# 未行权路径继续持有，等待下一期判断