3. 随机过程与布朗运动

在期权定价库的工程实现中，我们最终要回答一个核心问题：资产价格在时间维度上如何演化？这个问题的数学答案，就是随机过程。本节从维纳过程出发，经过伊藤引理这一关键桥梁，落到几何布朗运动，并给出可直接编码的资产价格路径生成方案。

一、核心原理：从维纳过程到几何布朗运动

维纳过程（Wiener Process），又称布朗运动，是连续时间随机过程的基石。它满足三个条件：W(0)=0；增量独立且服从正态分布 W(t)-W(s) ~ N(0, t-s)；路径连续但几乎处处不可微。离散化后，每一步增量可写为：

ΔW = ε · √Δt,  ε ~ N(0,1)

普通维纳过程可以取负值，而股票价格不能为负。因此工程上采用几何布朗运动（GBM）建模资产价格：

dS = μS dt + σS dW

其中 μ 为漂移率，σ 为波动率。该随机微分方程的解为：

S(t) = S(0) · exp[(μ - σ²/2)t + σW(t)]

注意指数中的 -σ²/2 项，它来自伊藤引理，是随机微积分与普通微积分最本质的区别之一。若忽略此项，模拟出的价格路径会系统性偏高。

二、方法流程：资产价格路径模拟的工程步骤

1. 确定参数：初始价格 S0、漂移率 μ、波动率 σ、时间步长 Δt、模拟步数 N。
2. 生成标准正态随机数：使用可复现的随机数生成器（如 Mersenne Twister），并设置固定种子。
3. 计算对数增量：ΔlnS = (μ - σ²/2)Δt + σ√Δt·ε。
4. 累加并指数还原：S(t+Δt) = S(t)·exp(ΔlnS)。
5. 存储路径：以矩阵形式保存 M 条路径 × N 个时间点，供后续定价与风险计算使用。

下面是一段 Python 伪代码，展示核心循环：

import numpy as np

def simulate_gbm(S0, mu, sigma, T, N, M, seed=42):
    rng = np.random.default_rng(seed)
    dt = T / N
    Z = rng.standard_normal((M, N))
    increments = (mu - 0.5 * sigma**2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * Z
    log_paths = np.cumsum(increments, axis=1)
    paths = S0 * np.exp(np.hstack([np.zeros((M,1)), log_paths]))
    return paths

三、案例/场景：蒙特卡洛定价中的路径生成

假设我们要为一只欧式看涨期权定价，参数为 S0=100，K=105，r=0.03，σ=0.2，T=1年。在风险中性测度下，漂移率 μ 替换为无风险利率 r。使用上述 GBM 模拟 10 万条路径，每条路径 252 个时间步，得到终端价格分布后计算贴现期望：

paths = simulate_gbm(100, 0.03, 0.2, 1.0, 252, 100000)
ST = paths[:, -1]
payoff = np.maximum(ST - 105, 0)
price = np.exp(-0.03 * 1.0) * payoff.mean()
# 典型输出：price ≈ 6.02

该结果可与 Black-Scholes 解析解对比，用于验证随机过程实现的正确性。若两者偏差超过 0.5%，通常说明时间步长过大或随机数质量不足。

四、误区与复盘