2. 利率基础概念

在 QuantLib 中做利率衍生品定价，第一步不是写代码，而是把五个基础量之间的关系彻底理清：即期利率、远期利率、贴现因子、计息方式与 DayCount 约定。它们共同构成利率曲线的“坐标系”，任何一次定价错误，追根溯源往往都落在其中某一环。

一、核心原理：五个量其实是一件事的五种表达

贴现因子 DF(t) 是利率世界最底层的量：它表示今天投入 1 元、在 t 时刻收回的现值系数。即期利率 z(t) 是把 DF 用“年化复利”语言翻译出来的结果；远期利率 f(t1,t2) 则是两个即期利率之间的边际利率，描述未来某段区间的资金价格。三者关系可写成：

DF(t) = 1 / (1 + z(t) * τ)^(1/τ)      // 一般复利形式
DF(t) = exp(-z(t) * t)                  // 连续复利形式
f(t1,t2) = (z(t2)*t2 - z(t1)*t1) / (t2 - t1)   // 连续复利下的远期利率
DF(t1,t2) = DF(t2) / DF(t1)             // 远期贴现因子

其中 τ 是计息期长度，由 DayCount 约定决定。也就是说，DayCount 不是“格式问题”，而是直接进入公式的乘数因子。QuantLib 把这一层抽象为 DayCounter 类，把利率曲线抽象为 YieldTermStructure，二者组合才能给出可用的 DF。

二、方法流程：从市场报价到可用曲线

1. 确定计息方式：货币市场常用单利，互换与债券常用复利，OIS 常用连续复利或日复利。
2. 选择 DayCounter：如 Actual360、Actual365Fixed、Thirty360、ActualActual(ISDA)。
3. 由报价反推 DF：存款用单利公式，FRA 用远期利率公式，互换用 bootstrap 逐段剥离。
4. 构建曲线对象：在 QuantLib 中通常用 PiecewiseYieldCurve 配合 DepositRateHelper、SwapRateHelper 等。
5. 校验：用曲线重算报价，误差应在 1e-8 量级以内。

三、可视化：即期、远期与贴现因子的联动关系

图中三条曲线共享同一横轴：即期利率随期限上升，远期利率通常高于即期（正向曲线），而贴现因子单调下降。任意一点 t 上，DF 与 z 一一对应；任意两点之间，远期利率由两点的即期利率差决定。

四、案例与场景：一次互换定价中的 DayCount 陷阱

假设 3 个月美元存款报价 5.25%，使用 Actual360；而 2 年互换报价 4.80%，使用 Thirty360。若在 QuantLib 中统一用 Actual365Fixed 构建曲线，虽然代码能跑通，但 bootstrap 出的 DF 会系统性偏移，导致互换 NPV 出现几个基点的误差。正确做法是：

DayCounter depoDC = Actual360();
DayCounter swapDC = Thirty360(Thirty360::USA);
auto depo = MakeDepositRateHelper(0.0525, 3*Months, 2, calendar, depoDC);
auto swap = MakeSwapRateHelper(0.0480, 2*Years, ... , swapDC);
// 每个 helper 携带自己的 DayCounter，曲线自动处理

五、误区与复盘