2. 利率基础

在FRA与利率期货定价中，所有估值公式最终都归结为一条主线：用贴现因子把未来现金流折算到今天。而贴现因子从何而来？它由利率类型与计息方式决定，并通过即期利率、远期利率和收益率曲线形成一套自洽的定价体系。本节把这六个概念串成一条可操作的逻辑链，为后续FRA定价与风险对冲打下基础。

一、核心原理：从利率到贴现因子

利率本质是资金的时间价格。实务中必须区分三类利率口径：

• 单利（Simple Rate）：利息不参与再投资，常见于货币市场工具，如LIBOR、SOFR期限利率的报价习惯。
• 复利（Compound Rate）：利息滚入本金，按频率m复利，如(1+r/m)^(mT)。
• 连续复利（Continuous Rate）：复利频率趋于无穷，DF = e^(-rT)，是衍生品定价中最常用的数学形式。

贴现因子DF(T)表示“今天1元在T时刻的价值”，是利率的倒数映射。给定即期利率z(T)，贴现因子为：

单利:      DF(T) = 1 / (1 + z * T)
按年复利:  DF(T) = 1 / (1 + z)^T
连续复利:  DF(T) = exp(-z * T)

即期利率是从今天到未来某一时点的零息利率，远期利率则是两个未来时点之间的隐含利率。三者关系可写成：

DF(T2) = DF(T1) * DF(T1, T2)
f(T1, T2) = [ DF(T1)/DF(T2) - 1 ] / (T2 - T1)   （单利远期）

二、方法流程：从市场报价到收益率曲线

构建一条可用于定价的收益率曲线，通常遵循以下流程：

1. 采集市场工具：短期用货币市场利率（如SOFR、EURIBOR），中期用利率期货（Eurodollar/SOFR期货），长期用利率互换（IRS）。
2. 确定计息惯例：确认ACT/360、ACT/365、30/360等天数规则，避免日期计算错误。
3. 自举法（Bootstrapping）：从最短期限开始，逐段求解即期利率，使曲线能精确重定价所有输入工具。
4. 插值处理：对缺失期限使用线性、对数线性或三次样条插值，保持曲线平滑且无套利。
5. 输出远期曲线：由即期曲线推导各期限的远期利率，用于FRA定价与期货凸性调整。

下面是一段简化的自举计算示例，展示如何从两个即期利率推出远期利率：

已知: z(0.5) = 4.00%, z(1.0) = 4.30%  (连续复利)
DF(0.5) = exp(-0.04 * 0.5) = 0.98020
DF(1.0) = exp(-0.043 * 1.0) = 0.95790

远期利率 f(0.5,1.0):
f = [DF(0.5)/DF(1.0) - 1] / 0.5
  = [0.98020/0.95790 - 1] / 0.5
  = 4.66%

三、案例场景：FRA定价中的曲线应用

假设某交易员需要为一笔“3×6”FRA定价，名义本金1亿元，合约利率4.50%，参考利率为3个月期利率。定价步骤如下：

• 从曲线读取3个月和6个月的贴现因子：DF(0.25)=0.9901，DF(0.5)=0.9785。
• 计算3×6远期利率：f = [0.9901/0.9785 - 1] / 0.25 ≈ 4.74%。
• 比较合约利率4.50%与远期利率4.74%，判断FRA多头价值为正。
• 用DF(0.5)折现利差现金流，得到FRA的现值。

这个案例说明：FRA定价的本质不是预测利率，而是用曲线隐含的远期利率与合约利率做比较，再用贴现因子完成估值。收益率曲线的形状直接决定了远期利率的高低，也决定了FRA的公允价值。

四、误区与复盘：曲线使用中的常见陷阱

复盘建议：每次定价前，先确认三件事——利率类型、计息惯例、曲线来源。这三项确定后，贴现因子与远期利率的计算就是机械的。下表汇总了本节核心概念与对应公式，可作为日常速查清单。