3. 凸优化核心概念

在资金配置优化中，我们真正求解的不是“收益最大化”这句话本身，而是一个被严格定义的数学规划问题。CVXPY 的价值在于：它把建模语言与求解器解耦，但前提是模型必须满足凸性。理解凸集、凸函数、线性规划、二次规划、锥规划以及 DCP 规则，是写出可解、稳定、可复现策略模型的基础。

一、核心原理：凸集与凸函数

凸集的定义很直观：集合内任意两点连线上的所有点仍属于该集合。凸函数则要求函数图像上任意两点连线不低于函数曲线，即对任意 x、y 和 λ∈[0,1]，有 f(λx+(1−λ)y) ≤ λf(x)+(1−λ)f(y)。这两个概念之所以关键，是因为凸优化问题具有一个极强性质：局部最优即全局最优。在资金配置中，这意味着只要模型是凸的，求解器找到的解就是全局最优解，不会陷入“看起来不错但实际更差”的局部陷阱。

常见的凸集包括：超平面、半空间、多面体、二阶锥、半正定锥。常见的凸函数包括：线性函数、二次函数（二次项系数半正定）、范数、最大值函数、指数函数。与之相对，收益率的“非凸”表达、整数手数约束、条件 VaR 的某些原始形式，都会破坏凸性。

二、方法流程：从LP到锥规划的建模阶梯

资金配置问题通常按复杂度分为三个层级。第一层是线性规划 LP：目标与约束均为线性，例如在给定预期收益下最小化交易成本。第二层是二次规划 QP：目标含二次项，典型代表是 Markowitz 均值—方差模型，最小化 wᵀΣw，约束为预算约束和权重上下限。第三层是锥规划：当风险度量涉及范数、VaR 或半正定矩阵时，问题进入二阶锥规划 SOCP 或半正定规划 SDP。

CVXPY 的建模流程可以概括为：声明变量 → 构造目标 → 添加约束 → 调用 solve() → 检查 status。关键在于，CVXPY 不会自动“猜测”你的问题是否凸，而是通过 DCP 规则进行静态校验。若校验失败，会直接抛出 DCPError，而不是交给求解器。

import cvxpy as cp
import numpy as np

n = 5
mu = np.array([0.08, 0.10, 0.12, 0.07, 0.09])
Sigma = np.diag([0.04, 0.05, 0.06, 0.03, 0.045])

w = cp.Variable(n)
ret = mu @ w
risk = cp.quad_form(w, Sigma)

objective = cp.Minimize(risk)
constraints = [cp.sum(w) == 1, w >= 0, ret >= 0.09]
prob = cp.Problem(objective, constraints)
prob.solve()

print("status:", prob.status)
print("optimal weights:", w.value)
print("risk:", prob.value)

这段代码是标准 QP。若把 cp.quad_form 换成 cp.norm(Sigma @ w, 2)，则进入 SOCP；若再加入 cp.Variable((n,n), PSD=True) 的协方差矩阵变量，则进入 SDP。建模阶梯越往上，表达能力越强，但求解成本也越高。

三、案例场景：DCP违规与修复

最常见的 DCP 违规有三类。第一类是凸函数除以变量，例如 cp.sum_squares(w) / cp.sum(w)，除法中分母为变量时通常非凸。第二类是凸函数等于凸函数，例如 cp.norm(w,2) == 1，等式约束要求两侧均为仿射。第三类是最大化凸函数，例如 cp.Maximize(cp.norm(w,2))，目标方向与凸性冲突。

修复思路：把“凸等于凸”改为“凸 ≤ 凸”或引入辅助变量；把“最大化凸函数”改为“最小化其负函数”或使用凹函数；把“变量除法”改为引入辅助变量并添加锥约束。例如，cp.norm(w,2) == 1 可改为 cp.norm(w,2) <= 1，再通过目标函数驱动其取到边界。

四、误区与复盘

第一个误区是“只要 CVXPY 能跑就是凸的”。实际上，CVXPY 的 DCP 校验是保守的：有些非 DCP 表达在数学上等价于凸问题，但无法通过规则校验。此时需要手动重写，而不是放弃凸优化。

第二个误区是“锥规划一定比 QP 慢”。SOCP 和 SDP 的单次求解确实更贵，但它们能表达更真实的风险约束，例如 CVaR、最大回撤近似、协方差不确定性。在资金配置中，模型真实性往往比求解速度更重要。

第三个误区是忽略数值尺度。收益率、权重、协方差矩阵的量级差异过大会导致求解器收敛困难。建议在建模前对收益和风险做统一量纲处理，并在求解后检查 prob.status 是否为 optimal。