3. 传感器融合的数学基础

ADAS 传感器融合的本质，是在“测量不完美”的前提下，尽可能准确地估计车辆周围真实状态。摄像头给出 2D 框和语义，毫米波雷达给出距离与径向速度，激光雷达给出点云几何，但它们都带有噪声、漏检、虚警和不同的时间延迟。融合算法要回答的核心问题是：给定这些带不确定性的观测，目标此刻的位置、速度、类别和存在概率是多少？本节从概率论出发，逐步过渡到贝叶斯推断、卡尔曼滤波、粒子滤波与信息融合方法，并说明它们在 ADAS 中的适用条件。

一、概率论：把“不确定”写成可计算的量

融合的数学语言是概率。连续状态用概率密度函数 p(x) 描述，离散假设用概率质量函数描述。ADAS 中最常用的两个分布是高斯分布和伯努利/分类分布：前者描述位置、速度等连续量的误差，后者描述“目标是否存在”“属于行人还是车辆”等离散判断。

高斯分布由均值 μ 和协方差 Σ 完全确定。协方差矩阵的对角线是各维方差，非对角线表示维度间的相关性。例如一个目标的位置协方差为

Σ = [[0.25, 0.10],
     [0.10, 0.36]]   // 单位：m²，x 与 y 方向存在正相关

这意味着 x 方向标准差约 0.5 m，y 方向约 0.6 m，且 x 增大时 y 倾向于增大。融合时若忽略这种相关性，会低估或高估不确定度。另一个关键概念是条件概率与独立性：若两个传感器误差独立，联合似然可分解为各自似然的乘积，这正是后续贝叶斯融合能写成连乘形式的前提。

二、贝叶斯推断：从先验到后验的统一框架

贝叶斯公式是融合的骨架：

p(x | z) = p(z | x) · p(x) / p(z)

其中 p(x) 是先验，来自上一时刻的预测或场景先验；p(z | x) 是似然，由传感器模型给出；p(x | z) 是后验，即融合后的信念。分母 p(z) 是归一化常数，实际计算中常通过归一化后验来回避。

在 ADAS 中，贝叶斯推断有两种典型用法。其一是递归滤波：预测步用运动模型把上一时刻后验推成当前先验，更新步用当前观测修正为先验。其二是静态融合：同一时刻多个传感器对同一目标给出观测，把先验设为均匀或上一帧结果，逐个乘入似然得到后验。例如摄像头给出“车辆”置信度 0.8，雷达给出“车辆”置信度 0.7，若两者独立，融合后的对数几率约为两者对数几率之和，得到更高的联合置信度。需要注意，若两传感器共享同一误检源（如都受同一反光干扰），独立性假设被破坏，直接相乘会过度自信。

三、卡尔曼滤波：线性高斯下的最优递归估计

卡尔曼滤波（KF）是贝叶斯推断在高斯线性假设下的闭式解。它维护状态均值 x 和协方差 P，每帧执行预测与更新：

预测：x⁻ = F·x + B·u
      P⁻ = F·P·Fᵀ + Q
更新：K  = P⁻·Hᵀ·(H·P⁻·Hᵀ + R)⁻¹
      x  = x⁻ + K·(z − H·x⁻)
      P  = (I − K·H)·P⁻

其中 F 是状态转移矩阵，Q 是过程噪声，H 是观测矩阵，R 是观测噪声，K 是卡尔曼增益。以恒速模型跟踪一个目标为例，状态取 [x, y, vx, vy]ᵀ，采样周期 T = 0.05 s，则

F = [[1, 0, T, 0],
     [0, 1, 0, T],
     [0, 0, 1, 0],
     [0, 0, 0, 1]]

若雷达观测距离和径向速度，H 需把状态映射到观测空间，且径向速度与 vx、vy 的关系是非线性的，此时应使用扩展卡尔曼滤波（EKF）或无迹卡尔曼滤波（UKF）。KF 的适用条件是：系统近似线性、噪声近似高斯、后验近似单峰。在高速巡航的前车跟踪、雷达-摄像头目标级融合中，这些条件通常成立，因此 KF/EKF 是工程首选。

四、粒子滤波：非高斯、多峰下的通用近似

当后验出现多峰（如目标被遮挡后可能出现在两个位置）、强非线性（如大角度转弯、近距离切入）或非高斯噪声时，KF 系列会失效。粒子滤波（PF）用一组带权重的样本 {x⁽ⁱ⁾, w⁽ⁱ⁾} 近似后验，通过“预测—权重更新—重采样”迭代。其优势是能表达任意形状的分布，代价是计算量随粒子数增长，且高维状态下需要大量粒子。

在 ADAS 中，PF 常用于：遮挡后的目标重捕获、多假设跟踪（MHT）中的假设管理、以及激光雷达点云中的行人/非规则目标跟踪。工程上常采用“KF 为主、PF 为辅”的混合策略：正常跟踪用 KF 保证实时性，当新息持续偏大或存在多峰迹象时切换到 PF 或增加粒子数。

五、信息融合的基本方法与适用条件

按融合层级可分为数据级、特征级和决策级。数据级融合保留最多信息，但对时空对齐和标定要求最高；特征级融合在特征空间合并，兼顾信息量与鲁棒性；决策级融合对各传感器独立结果做概率组合，最易实现但信息损失最大。按融合结构又可分为集中式、分布式和混合式。

常用融合算子包括：贝叶斯乘积（假设独立，适合互补传感器）、协方差交叉（CI，适合未知相关性的鲁棒融合）、Dempster-Shafer 证据理论（适合处理“未知”与冲突）以及加权平均。选择依据是：传感器误差是否独立、是否需要保留冲突信息、计算资源是否受限。

上图把“传感器输入—方法选择—融合输出—判断依据”串成一条可操作的决策链。实际工程中，选择哪种方法不是由算法先进性决定，而是由后验形态、线性程度、传感器相关性和算力预算共同决定。

六、工程落地中的关键约束

第一是时空对齐。不同传感器采样时刻不同，必须用自车运动把观测统一到同一参考帧和同一时刻，否则卡尔曼滤波的新息会被人为放大。第二是标定误差。外参旋转误差 0.5° 在 100 m 处会带来约 0.87 m 的横向偏差，直接污染融合结果。第三是噪声参数整定。Q 过大导致跟踪滞后，R 过大导致观测被忽视，通常用新息协方差一致性检验来评估：若归一化新息平方（NIS）长期偏离理论卡方分布，说明 Q 或 R 设置不合理。

综上，概率论提供语言，贝叶斯推断提供框架，卡尔曼滤波与粒子滤波提供可实现的递归估计器，信息融合方法提供多源组合策略。理解它们的假设与边界，才能在 ADAS 工程中做出既准确又实时的融合设计。