3. 车辆纵向动力学建模

纵向动力学是车辆状态估计的“主干模型”。无论是估计车速、纵向加速度、坡度，还是进一步反推轮胎力与路面附着，都离不开一个能描述“驱动/制动扭矩如何变成整车加速度”的方程。本节围绕面向状态估计的简化模型展开：先约定坐标系与符号，再逐项建立轮胎纵向力、传动扭矩、载荷转移、空气阻力与滚动阻力，最后给出可辨识的参数集合与辨识思路。

一、坐标系与符号约定

取车辆前进方向为 x 轴正方向，侧向为 y 轴，垂向向上为 z 轴。定义：整车质量 m（kg），质心纵向位置距前轴 a、距后轴 b，轴距 L=a+b，质心高度 h。纵向加速度 a_x 以加速为正、减速为负。轮胎纵向力 F_x 以驱动方向为正，制动力为负。坡度角 θ 以车辆上坡为正。全文与图示均遵循这一约定，后续所有正负号判断都以此为准。

二、整车纵向运动方程

忽略侧向与横摆耦合，纵向平动方程为：

m·a_x = F_xf + F_xr − F_air − F_roll − m·g·sinθ

其中 F_xf、F_xr 为前、后轮纵向力，F_air 为空气阻力，F_roll 为滚动阻力，m·g·sinθ 为坡道分量。这个方程是状态估计的“观测骨架”：已知加速度与阻力项，就能反推总纵向力；已知总纵向力与扭矩，就能估计传动效率或轮胎半径偏差。

三、轮胎纵向力建模

轮胎纵向力由滑移率 κ 与垂向载荷 F_z 共同决定。面向估计的常用简化是线性区加饱和修正：

F_x = C_κ · κ · F_z / (1 + |κ|/κ_sat)   （简化饱和形式）
κ = (ω·r_e − v_x) / max(|v_x|, v_eps)

其中 C_κ 为纵向滑移刚度，r_e 为有效滚动半径，ω 为轮速，v_x 为车速，v_eps 防止低速除零。低速时滑移率定义病态，工程上常改用轮速差或直接以扭矩估计力。线性区（|κ| 小于约 0.03～0.05）内 F_x≈C_κ·κ·F_z，这也是 ABS/ESC 估计附着时最常用的工作区间。

四、驱制动扭矩传递链

发动机或电机输出扭矩 T_e，经变速器速比 i_g、主减速比 i₀、传动效率 η 传到车轮，再减去制动扭矩 T_b，得到轮端净扭矩：

T_w = T_e · i_g · i_0 · η − T_b
F_x = T_w / r_e

对状态估计而言，关键不是精确的发动机 MAP，而是把“扭矩指令—轮端力”的传递关系写成可辨识形式。常用做法是引入等效传动比 k_d=i_g·i₀·η/r_e，则 F_x≈k_d·T_e−T_b/r_e。k_d 可随挡位变化，辨识时按挡位分段或作为时变参数处理。制动扭矩 T_b 通常由制动压力 p_b 与制动因数 K_b 近似：T_b=K_b·p_b。

五、载荷转移

纵向加速度会引起前后轴垂向载荷重新分配。对质心取矩可得：

F_zf = m·g·b/L − m·a_x·h/L
F_zr = m·g·a/L + m·a_x·h/L

加速时 a_x>0，前轴减载、后轴增载；制动时相反。载荷转移直接影响轮胎力上限（F_x,max=μ·F_z），因此它是估计附着利用率与判断车轮是否接近抱死的必要中间量。注意上式假设坡度较小、忽略空气升力，若坡度较大需把 g 替换为 g·cosθ 并单独处理坡道分量。

六、空气阻力与滚动阻力

空气阻力：

F_air = 0.5 · ρ · C_d · A · v_x²

ρ 为空气密度（约 1.225 kg/m³），C_d 为风阻系数，A 为迎风面积。低速时该项可忽略，高速时占主导。滚动阻力：

F_roll = f_r · m · g · cosθ ，f_r ≈ f_0 + f_1·v_x

f₀ 约 0.008～0.015，f₁ 量级约 10⁻⁵ s/m。工程上常把 F_roll 与坡道分量合并为“道路载荷”一并辨识，避免低速下二者强相关导致参数不可分。

七、面向状态估计的简化与参数辨识

把上述各项代入纵向方程，整理成关于待辨识参数的线性回归形式：

a_x = k_d·T_e/m − T_b/(m·r_e) − (0.5ρC_dA/m)·v_x² − g·(f_r·cosθ + sinθ)

可辨识参数集合为：等效驱动增益 k_d/m、制动增益 1/(m·r_e)、空气阻力系数组合 0.5ρC_dA/m、道路载荷项 g(f_rcosθ+sinθ)。辨识时用最小二乘或递推最小二乘，输入为 T_e、T_b、v_x，输出为 a_x。需要注意：低速段滑移率病态、制动扭矩标定误差、坡度与滚阻耦合是三个主要误差源，建议按速度分段辨识并加入遗忘因子。

实际实现时，建议把模型写成状态空间形式，状态取 [v_x, a_x] 或 [v_x, ω_f, ω_r]，输入取 [T_e, T_b, θ]，输出取轮速与纵向加速度。这样既可用于扩展卡尔曼滤波，也可用于递推最小二乘在线辨识。参数辨识的验证方法是：用辨识出的参数在另一段工况上预测 a_x，若均方根误差在 0.2～0.4 m/s² 量级，且残差无系统性偏置，则认为模型在该工况下可用。