2. 车辆运动学与动力学建模

路径跟踪控制器的性能上限，首先由模型决定。若模型忽略了低速下的几何约束，或忽略了高速下的轮胎侧偏与载荷转移，控制器就会在“看似合理”的假设下产生稳态误差、相位滞后甚至失稳。本章围绕四个相互衔接的建模层次展开：自行车模型提供降维后的刚体运动描述，阿克曼转向几何建立前轮转角与路径曲率之间的运动学关系，侧向动力学与轮胎模型刻画高速工况下的力与侧偏特性，最后通过路径跟踪坐标系定义把车辆状态与期望路径统一到同一误差空间中。

一、自行车模型：从四轮到两轮的等效降维

自行车模型把左右车轮合并为前后各一个等效轮，保留轴距 L、质心到前轴距离 a、到后轴距离 b，并假设车辆只在平面内运动。其核心价值在于：用最少的自由度保留路径跟踪最关心的横摆与横向位置特性。常用状态量为全局坐标 (X, Y)、航向角 ψ、纵向速度 v 与横摆角速度 r。

运动学自行车模型忽略轮胎侧偏，适用于低速泊车、园区低速循迹等场景，其连续形式可写为：

X_dot = v * cos(psi)
Y_dot = v * sin(psi)
psi_dot = v / L * tan(delta)

当速度升高、横向加速度超过约 0.3g~0.4g 时，轮胎侧偏不可忽略，必须切换到动力学自行车模型。此时前后轴侧偏角 α_f、α_r 成为关键中间变量，横摆运动由前后轴侧向力产生的力矩共同决定，模型从“几何约束”变为“力平衡约束”。

二、阿克曼转向几何与曲率映射

阿克曼转向几何的目标是让四个车轮绕同一瞬时转向中心滚动，从而避免轮胎拖滑。对前轮内外侧转角 δ_i、δ_o，理想关系为 cot(δ_o) - cot(δ_i) = B / L，其中 B 为轮距。工程上常以等效前轮转角 δ 近似，并引入阿克曼率 k_a 描述实际机构与理想几何的偏差。

在低速纯几何假设下，路径曲率 κ 与前轮转角满足 κ = tan(δ) / L。这条关系是纯追踪、Stanley 等几何控制器的直接依据，也是把“期望路径”翻译成“方向盘转角”的第一座桥梁。需要注意的是，该映射在高速下会因侧偏而显著失真，必须由动力学模型修正。

三、侧向动力学与轮胎模型

线性二自由度模型把车辆简化为侧向速度 v_y 与横摆角速度 r 两个状态，前后轴侧向力近似与侧偏角成正比：F_yf = C_f·α_f，F_yr = C_r·α_r，其中 C_f、C_r 为侧偏刚度。该模型能解释不足转向/过度转向、横摆阻尼与临界车速等核心现象，是 LQR、MPC 等控制器最常用的预测模型。

当侧偏角增大到 4°~8° 以上，轮胎力进入非线性饱和区，线性模型会高估可用侧向力。此时应引入 Pacejka 魔术公式或刷子模型，用峰值附着系数 μ、轮胎垂向载荷 F_z 与滑移率共同描述力的饱和与衰减。路径跟踪在极限工况下的鲁棒性，本质上取决于控制器是否“知道”轮胎已经接近附着极限。

四、路径跟踪坐标系与误差定义

路径跟踪的误差必须在路径坐标系中定义才有物理意义。设期望路径上距离车辆最近的点为投影点 P，其切线方向为 τ，法线方向为 n。则横向误差 e_y 为车辆到切线的有符号距离，航向误差 e_ψ = ψ - ψ_des 为车辆航向与路径切向的夹角，弧长 s 表示沿路径的进度。三者共同构成 Frenet 坐标系下的误差状态 [e_y, e_ψ, s]。

该定义把“车辆在哪、朝向如何、走了多远”统一为可微的误差向量，使控制器可以直接对 e_y 与 e_ψ 设计反馈律。工程实现中还需处理投影点跳变、曲率不连续与路径自交等边界情况。

综上，本章建立的模型链条是：自行车模型给出状态骨架，阿克曼几何给出转角到曲率的映射，侧向动力学与轮胎模型给出高速下的力约束，Frenet 误差坐标系把车辆与路径统一到同一误差空间。后续所有路径跟踪算法，都是在这条链条上选择不同的简化程度与控制律形式。