3. 轨迹表示方法
在连续曲率轨迹生成中，“用什么数学对象描述轨迹”直接决定了曲率是否连续、约束是否易施加、求解是否稳定。工程上常见的五类表示方法各有明确的数学性质与适用边界：多项式、贝塞尔曲线、B样条、NURBS 与回旋曲线。理解它们的差异，本质是在局部可控性、曲率连续性、几何精确性与计算代价之间做权衡。
一、五类表示方法的核心原理
多项式以时间或弧长为自变量，直接给出 x(t)、y(t) 或 θ(s)、κ(s)。五次多项式可同时约束位置、速度、加速度，天然满足 C² 连续，因此常用于换道、超车等单段轨迹。其缺点是全局耦合：改变一个系数会影响整段轨迹，且难以精确表达圆弧、直线等标准几何。
贝塞尔曲线由伯恩斯坦基函数与控制点定义，具有凸包性、端点插值和仿射不变性，非常适合交互式设计与路径平滑。但普通贝塞尔曲线的控制点全局影响曲线形状，且曲率在控制点附近波动较大，高阶时数值稳定性下降。
B样条是贝塞尔曲线的分段推广，通过节点向量实现局部支撑：移动一个控制点只影响相邻若干段。三次B样条可达到 C² 连续，是路径平滑与轨迹优化的主力工具。其局限在于不直接插值控制点，且无法精确表示圆锥曲线。
NURBS在B样条基础上引入权因子，可精确表示圆、椭圆、双曲线等二次曲线，是CAD/CAM与高精度路径的标准表示。代价是权因子引入非线性，求导与曲率计算更复杂，实时优化中需谨慎处理。
回旋曲线（Clothoid）以曲率随弧长线性变化为定义，即 κ(s)=κ₀+c·s，天然实现曲率连续，正是车辆转向过渡的理想模型。其缺点是积分无初等闭式解，需数值计算，且多段拼接时位置与切线方向需迭代求解。
二、方法流程：从需求到表示选型
- 明确连续性等级：若仅需路径光滑（C¹），贝塞尔或低阶B样条即可；若需横向加速度连续（C²），优先三次B样条、五次多项式或回旋曲线。
- 判断几何约束类型：需精确通过圆弧、直线段时，NURBS或“回旋+圆弧”组合更合适；仅需近似平滑时，B样条足够。
- 评估实时性：多项式与B样条可解析求导，适合MPC/优化内层；NURBS与回旋曲线求导复杂，常放在预处理层。
- 确定拼接方式：多段轨迹需保证位置、切线、曲率三级连续，回旋曲线拼接需迭代求解，B样条可通过节点重复度控制。
- 验证舒适性指标：输出 κ(s)、κ'(s)、横向 jerk，检查是否超出阈值。
三、典型场景与参数示例
以高速公路换道为例，若采用五次多项式，可显式约束起终点横向偏移、速度与加速度：
# 五次多项式横向轨迹 y(t) = a0 + a1 t + a2 t^2 + a3 t^3 + a4 t^4 + a5 t^5
# 边界条件：y(0)=0, y'(0)=0, y''(0)=0
# y(T)=d, y'(T)=0, y''(T)=0
# 解得：a3 = 10d/T^3, a4 = -15d/T^4, a5 = 6d/T^5
# 参数示例：d = 3.5 m（车道宽）, T = 4.0 s
# 峰值横向加速度 ≈ 5.6 d / T^2 ≈ 1.23 m/s^2
# 峰值横向 jerk ≈ 60 d / T^3 ≈ 3.28 m/s^3若该换道轨迹需与圆弧弯道衔接，则应在直线与圆弧之间插入回旋曲线过渡段，使曲率从0线性增至1/R，避免曲率突变带来的方向盘阶跃。
四、误区与复盘
常见误区二：盲目使用高阶多项式。阶数越高越容易振荡，且系数对边界条件敏感，数值稳定性差。
常见误区三：在实时优化中直接使用NURBS。权因子使问题非凸，求解时间不可控，通常应先离线生成再在线跟踪。
常见误区四：回旋曲线拼接时忽略切线方向累积误差，导致末端位置偏差，需用数值迭代校正。
五、特性对比清单
| 表示方法 | 连续性 | 局部可控 | 几何精确 | 计算代价 | 首选场景 |
|---|---|---|---|---|---|
| 多项式 | C²（五次） | 弱 | 低 | 低 | 换道、超车、时间参数化 |
| 贝塞尔 | C¹～C² | 弱 | 低 | 低 | 交互设计、低速泊车 |
| B样条 | C² | 强 | 中 | 中 | 路径平滑、轨迹优化 |
| NURBS | C² | 强 | 高 | 高 | CAD/CAM、圆与椭圆路径 |
| 回旋曲线 | 曲率连续 | 中 | 高（线形） | 中高 | 道路线形、转向过渡 |
综上，轨迹表示方法的选择不是“越高级越好”，而是与连续性需求、几何约束、实时预算和舒适性指标匹配。工程实践中常采用混合策略：用回旋曲线处理曲率过渡，用B样条做整体平滑，用多项式完成时间维度的运动规划，从而在连续曲率与舒适性优化之间取得平衡。