2. 数学基础

连续曲率轨迹生成的核心，是把一条空间路径从“几何形状”提升为“可微、可积、可约束”的数学对象。只有先建立参数曲线、曲率、挠率、Frenet标架、弧长参数化与连续性阶数这套语言，后续的舒适性优化、速度规划和执行器约束才有统一的度量基础。本节不追求纯数学推导的完备性，而是围绕工程实现中最常用的概念与判断方法展开。

一、参数曲线：从几何路径到可计算对象

一条空间曲线通常写成参数形式 C(u) = (x(u), y(u), z(u))，其中 u 是参数，不一定等于弧长。工程中常见的参数曲线包括多项式曲线、B样条、NURBS、贝塞尔曲线和回旋曲线等。参数化的意义在于：它把“路径”变成可求导、可采样、可优化的函数，从而支持速度、加速度、曲率等派生量的计算。

需要特别区分两个概念：几何路径是曲线在空间中的形状，与参数化方式无关；参数化则决定沿路径运动的快慢分布。同一条几何路径，用不同参数化方式表达，其导数大小和数值稳定性可能差异很大。因此，轨迹生成通常先设计几何路径，再叠加时间或弧长参数化。

二、曲率与挠率：描述弯曲与扭转

曲率 κ 描述曲线偏离直线的程度，挠率 τ 描述曲线偏离平面的程度。对参数曲线 C(u)，有：

κ = |C'(u) × C''(u)| / |C'(u)|^3
τ = (C'(u) × C''(u)) · C'''(u) / |C'(u) × C''(u)|^2

在车辆、机器人或飞行器轨迹中，曲率直接关联横向加速度与转向角需求。若以速度 v 沿路径运动，则横向加速度约为 a_lat = κ v²。这意味着：曲率越大，同样速度下乘客感受到的侧向力越强，舒适性越差。挠率则更多出现在三维轨迹中，例如空间机械臂末端路径或无人机爬升转弯，它影响姿态变化的平滑程度。

三、Frenet标架：沿曲线的局部坐标系

Frenet标架由切向量 T、法向量 N、副法向量 B 组成，三者两两正交，构成沿曲线移动的局部坐标系。其定义为：

T = C'(u) / |C'(u)|
N = (T)' / |(T)'|
B = T × N

Frenet标架的价值在于把全局坐标中的复杂运动分解为“前进、侧向、垂向”三个方向。轨迹跟踪控制、横向误差计算、姿态规划都依赖这个局部坐标系。例如，在路径跟踪中，横向误差通常定义为实际位置到参考路径在 N 方向上的投影；在舒适性评估中，N 方向的加速度就是乘客感受到的侧向加速度。

但Frenet标架在直线段或曲率为零处会出现法向量不唯一的问题，工程中常用平行传输标架或固定参考标架替代，以提高数值稳定性。

四、弧长参数化与连续性阶数

弧长参数化是指用弧长 s 作为参数，使 |C'(s)| = 1。它的好处是：参数增量直接对应实际路径长度，速度规划与几何形状解耦。若用一般参数 u，则弧长与参数的关系为：

s(u) = ∫ |C'(u)| du
ds/du = |C'(u)|

连续性阶数描述曲线在拼接点处的光滑程度。常见定义如下：

需要区分 C连续 与 G连续：C连续要求参数导数连续，G连续只要求几何连续。工程中更关注G2，因为曲率连续直接决定横向加速度是否平滑。若只做到G1，曲率在拼接点可能跳变，乘客会感到明显“顿挫”。

五、案例：回旋曲线拼接中的曲率连续性

假设一段直线与一段圆弧之间需要过渡。若直接拼接，直线段曲率为0，圆弧段曲率为 1/R，在拼接点曲率发生阶跃，横向加速度突变。工程上常用回旋曲线作为过渡段，其曲率随弧长线性变化：

κ(s) = k0 + (k1 - k0) * s / L

这样，直线到圆弧的过渡满足G2连续，横向加速度连续变化。若进一步要求加加速度连续，则需要使用曲率变化率连续的高阶曲线，例如五次多项式或G3样条。实际项目中，常以“曲率连续 + 曲率变化率有界”作为舒适性优化的基本约束。

六、常见误区与复盘

• 误区一：把参数连续当成几何连续。 C1并不自动意味着G1，参数化方式可能掩盖几何尖角。
• 误区二：只关注位置连续。 G0路径虽然无断点，但曲率跳变会让乘客感到明显冲击。
• 误区三：忽略弧长参数化。 非弧长参数下，速度规划与几何形状耦合，容易导致加速度约束失效。
• 误区四：在直线段直接使用Frenet标架。 曲率为零时法向量不唯一，应改用平行传输标架或固定参考系。

复盘时可用一个简单检查清单：路径是否G2连续？曲率是否沿弧长有界？Frenet标架是否在退化点稳定？弧长参数化是否用于速度规划？这四个问题能覆盖大部分轨迹生成中的数学基础缺陷。