3. 误差源与随机过程

MEMS IMU 的原始输出并不是“真值”，而是真值经过一系列确定性误差与随机误差污染后的结果。工程上通常把误差分为两大类：确定性误差（零偏、尺度因子、非正交/安装误差、温度漂移中的可建模部分）和随机误差（白噪声、量化噪声、随机游走、速率随机游走等）。标定的目标是先消除确定性误差，再用随机过程模型描述残余噪声，为后续状态估计提供正确的噪声协方差。

一、确定性误差：零偏、尺度因子与非正交误差

对三轴陀螺和加速度计，最常用的确定性误差模型为仿射模型：

a_meas = M_a · (a_true + b_a) + n_a
ω_meas = M_g · (ω_true + b_g) + n_g

其中：
b_a, b_g        : 三轴零偏 (bias)
M_a, M_g        : 3×3 尺度因子 + 非正交/安装误差矩阵
n_a, n_g        : 随机噪声项

零偏是输入为零时的非零输出，单位通常为 mg 或 °/s；尺度因子描述输入输出斜率偏离 1 的程度，用 ppm 或 % 表示；非正交误差描述三轴敏感轴不正交导致的轴间耦合。三者合起来构成一个 3×3 矩阵加一个 3×1 偏置，共 12 个待标定参数。

标定方法上，加速度计常用六面法：将 IMU 分别朝 ±X、±Y、±Z 六个方向静置，每个位置采集若干秒数据，利用重力矢量在敏感轴上的投影建立方程组，用最小二乘求解 M_a 和 b_a。陀螺则常用转台法：以已知角速率旋转，比较输出与输入，拟合尺度因子与零偏。

二、随机误差：噪声、量化误差与随机游走

随机误差无法通过一次标定完全消除，只能用统计量描述。常见类型包括：

• 量化噪声（Quantization Noise, QN）：ADC 离散化引入，Allan 方差斜率 -1，对应角度/速度随机游走系数。
• 角度/速度随机游走（ARW/VRW）：白噪声积分结果，Allan 方差斜率 -1/2，单位 °/√h 或 m/s/√h。
• 零偏不稳定性（Bias Instability, BI）：1/f 噪声，Allan 方差曲线最低点，单位 °/h 或 mg。
• 速率随机游走（RRW）：Allan 方差斜率 +1/2。
• 速率斜坡（Rate Ramp）：Allan 方差斜率 +1，常由温度漂移或老化引起。

温度漂移是 MEMS IMU 最显著的确定性误差之一，通常表现为零偏和尺度因子随温度变化。工程上通过温箱实验建立“温度—零偏”查找表或多项式模型，在运行时用片上温度传感器做实时补偿。

三、Allan 方差分析流程

Allan 方差是辨识随机噪声类型的标准工具。其基本流程为：采集长时静态数据 → 按不同簇长 τ 分组求平均 → 计算相邻簇平均值的差分方差 → 绘制 log-log 曲线 → 根据斜率辨识噪声系数。

# Allan 方差计算核心步骤（伪代码）
for tau in tau_list:
    theta = cumsum(gyro_data) / fs      # 角度序列
    theta_k = average(theta, tau)       # 簇平均
    diff = theta_k[1:] - theta_k[:-1]   # 相邻差分
    allan_var = 0.5 * mean(diff**2)     # Allan 方差
    allan_dev = sqrt(allan_var)         # Allan 标准差

在 log-log 图上，不同斜率对应不同噪声：斜率 -1 为量化噪声，-1/2 为 ARW/VRW，0 为零偏不稳定性，+1/2 为 RRW，+1 为速率斜坡。曲线最低点即零偏不稳定性，左侧 -1/2 段可外推得到 ARW。

四、典型标定场景与参数表

以某消费级 MEMS IMU 为例，静态采集 2 小时数据，采样率 100 Hz，温度 25°C。经 Allan 方差分析得到如下典型参数：

五、常见误区与复盘