📚 课程目录第4章相机内参标定

4. 相机内参标定

在Camera-LiDAR-IMU联合标定工程中，相机内参标定是所有外参标定的基础。如果内参不准确，即使外参求解算法再精细，最终融合结果也会出现系统性偏差。本节围绕针孔成像模型、畸变模型、张正友标定法、标定板选择以及实操流程展开，帮助读者建立从理论到落地的完整认知。

一、针孔模型：把三维世界映射到二维像素

针孔模型是相机成像的经典近似。它假设光线通过一个理想小孔，在像平面上形成倒立实像。在工程中，我们通常用四个内参描述这一过程：焦距 fx、fy，以及主点坐标 cx、cy。三维点 (X, Y, Z) 投影到像素坐标 (u, v) 的关系可写为：

u = fx * X / Z + cx
v = fy * Y / Z + cy

其中 fx = f / dx，fy = f / dy，dx、dy 分别为单个像素在 x、y 方向的物理尺寸。主点是光轴与像平面的交点，通常接近图像中心，但受装配误差影响会有偏移。针孔模型不考虑镜头畸变，因此只适用于理想小孔或畸变已校正后的图像。

在联合标定中，内参矩阵 K 通常写成 3×3 形式：K = [[fx, 0, cx], [0, fy, cy], [0, 0, 1]]。后续外参求解、点云投影、深度对齐都依赖这个矩阵。

二、畸变模型：径向畸变与切向畸变

真实镜头存在制造和装配误差，导致图像产生畸变。最常见的是径向畸变和切向畸变。径向畸变使直线变弯，表现为桶形或枕形；切向畸变由镜头与成像平面不平行引起，使图像产生切向偏移。OpenCV 常用五参数模型 (k1, k2, p1, p2, k3) 描述：

x_distorted = x(1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_distorted = y(1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y

其中 r^2 = x^2 + y^2，x、y 为归一化平面坐标。对于广角或鱼眼镜头，还需引入 k4、k5、k6 或使用鱼眼模型。畸变系数不准确会直接导致角点重投影误差增大，进而影响外参精度。

三、张正友标定法：从多视角棋盘格到内参求解

张正友标定法（Zhang's Method）是当前最广泛使用的相机内参标定方法。其核心思想是：使用一个已知尺寸的平面标定板，从多个不同姿态拍摄图像，利用平面单应性矩阵和旋转矩阵的正交约束，线性求解内参初值，再通过最大似然估计进行非线性优化。

具体步骤包括：

打印或制作标定板，固定在刚性平面上；
从不同角度、不同距离拍摄 15～30 张图像，覆盖画面各个区域；
检测每张图像中的角点坐标；
计算每张图像的单应性矩阵 H；
利用 H 的列向量正交约束求解内参矩阵 K；
以重投影误差最小为目标，优化 K 和畸变系数。

张正友标定法的优势在于：不需要高精度三维标定物，只需平面标定板；操作简单，精度可满足大多数工程需求。在联合标定中，通常先单独标定相机内参，再固定内参进行外参求解。

四、标定板选择：棋盘格、圆点与 ChArUco

标定板的选择直接影响角点检测的稳定性和标定精度。常见类型包括：

标定板类型	优点	缺点	适用场景
棋盘格	角点锐利、检测成熟、成本低	对模糊和遮挡敏感	常规镜头、实验室标定
圆点阵列	圆心定位抗噪、对模糊不敏感	圆心提取存在偏心误差	工业视觉、远距离标定
ChArUco	结合棋盘格与ArUco，部分遮挡仍可检测	制作稍复杂	多相机、遮挡场景、联合标定
鱼眼专用板	覆盖大视场，适配鱼眼模型	需专用检测算法	鱼眼镜头、广角相机

在Camera-LiDAR-IMU联合标定中，若相机为普通针孔镜头，棋盘格已足够；若存在部分遮挡或多相机同步采集，ChArUco 更具鲁棒性。标定板尺寸应占画面 1/3 以上，方格边长建议 20～50 mm，根据工作距离选择。

五、实操流程与常见误区

以下给出基于 OpenCV 的典型标定流程：

# 1. 准备标定板参数
pattern_size = (9, 6)      # 内角点数量
square_size = 0.025        # 方格边长，单位：米

# 2. 采集图像并检测角点
ret, corners = cv2.findChessboardCorners(gray, pattern_size, None)
if ret:
    corners = cv2.cornerSubPix(gray, corners, (11,11), (-1,-1), criteria)

# 3. 标定
ret, K, dist, rvecs, tvecs = cv2.calibrateCamera(
    object_points, image_points, gray.shape[::-1], None, None)

# 4. 评价重投影误差
mean_error = 0
for i in range(len(object_points)):
    imgpoints2, _ = cv2.projectPoints(object_points[i], rvecs[i], tvecs[i], K, dist)
    error = cv2.norm(image_points[i], imgpoints2, cv2.NORM_L2) / len(imgpoints2)
    mean_error += error
print("重投影误差:", mean_error / len(object_points))

常见误区：① 标定板不平整，导致角点不在同一平面，破坏张正友法的平面假设；② 图像数量不足或角度单一，导致内参和畸变系数耦合；③ 使用自动对焦镜头，拍摄过程中焦距变化，内参失效；④ 忽略图像边缘区域，导致畸变系数外推不准。

复盘时建议：固定光圈与焦距，使用全局快门相机；采集时让标定板覆盖画面四角与中心；标定完成后用独立图像验证重投影误差；若误差偏大，优先检查角点检测质量，再考虑增加图像数量或更换标定板类型。只有内参稳定可靠，后续 Camera-LiDAR-IMU 联合标定才能获得可信的外参结果。