4. 动子运动学建模与轨迹表示

在XTS系统中，每个动子（Mover）都是独立的运动单元，碰撞避免与间距控制的前提，是能够用统一的数学语言描述“动子此刻在哪里、以多快速度运动、加速度如何变化”。本节围绕单个动子的运动学建模展开，建立位置-时间、速度-时间、加速度-时间三条曲线之间的关系，并说明S曲线与梯形速度曲线在XTS中的参数化方式。

4.1 位置、速度、加速度的微分关系

设动子沿轨道方向的位置为 s(t)，单位为 mm；速度为 v(t)，单位为 mm/s；加速度为 a(t)，单位为 mm/s²。三者满足微分关系：

v(t) = ds(t)/dt
a(t) = dv(t)/dt = d²s(t)/dt²

反过来，速度是加速度对时间的积分，位置是速度对时间的积分。这意味着：只要给定加速度曲线 a(t)，通过两次积分就能唯一确定速度曲线和位置曲线。XTS的TwinCAT运动控制库正是基于这一关系，把轨迹规划转化为“先规划加速度，再积分得到速度和位置”的过程。

在XTS中，动子的位置通常以轨道弧长坐标表示，正方向定义为沿轨道前进方向。所有动子的位置共享同一坐标系，因此任意两个动子的间距可以直接用位置差 Δs = s₂ − s₁ 表示。这一约定在后续碰撞检测中至关重要：间距控制本质上就是对 Δs 施加下界约束。

4.2 梯形速度曲线

梯形速度曲线是最基础的运动规划方式，其速度-时间曲线呈梯形：加速段、匀速段、减速段。设目标速度为 v_max，加速度为 a_max，减速度为 d_max，则各段时间为：

t_acc = v_max / a_max
t_dec = v_max / d_max
s_acc = v_max² / (2·a_max)
s_dec = v_max² / (2·d_max)
s_total = s_acc + v_max·t_const + s_dec

其中 t_const 为匀速段时间，由总位移 s_total 反推得到。梯形曲线的优点是计算简单、参数少，只需 v_max、a_max、d_max 三个参数即可确定整条轨迹。缺点是加速度在加速段与匀速段交界处发生阶跃跳变，理论上加速度变化率为无穷大，会在机械结构上产生冲击和振动。

在XTS中，梯形曲线适用于对节拍要求高、对振动不敏感的搬运工位。例如某动子需要从位置 0 mm 移动到 500 mm，设定 v_max = 2000 mm/s，a_max = 10000 mm/s²，d_max = 10000 mm/s²，则 t_acc = 0.2 s，s_acc = 200 mm，s_dec = 200 mm，剩余 100 mm 以匀速通过，t_const = 0.05 s，总运动时间约 0.45 s。这一计算过程可以直接在TwinCAT的NC轴参数中配置。

4.3 S曲线速度规划

S曲线在梯形曲线的基础上引入加加速度（Jerk）限制，使加速度本身也连续变化。加加速度 j(t) = da(t)/dt，单位为 mm/s³。S曲线把加速段进一步细分为加加速段、匀加速段、减加速段，减速段同理，共七个阶段。

设加加速度上限为 j_max，则加加速段时间 t_j = a_max / j_max。S曲线的参数化需要 v_max、a_max、d_max、j_max 四个参数。相比梯形曲线，S曲线的运动时间略长，但加速度连续、冲击小，适合对定位精度和机械寿命要求高的场合。

在XTS中，S曲线常用于精密装配、视觉检测等工位。以同样的 500 mm 位移为例，若设定 j_max = 100000 mm/s³，则 t_j = 0.1 s，加速段总时间约 0.3 s，整体运动时间约 0.55 s，比梯形曲线多约 0.1 s，但动子到达目标位置时的残余振动显著降低。

4.4 XTS中的参数化方式

在TwinCAT中，动子的运动学参数通过NC轴或运动功能块配置。常用参数包括：

• Velocity：最大速度 v_max，对应梯形和S曲线的匀速段速度。
• Acceleration：最大加速度 a_max。
• Deceleration：最大减速度 d_max，通常与 a_max 相同，也可单独设置。
• Jerk：加加速度 j_max，仅S曲线使用；若设为0或极大值，则退化为梯形曲线。

这些参数既可以在轴配置中作为默认值，也可以在每次运动命令中动态覆盖。对于碰撞避免场景，动态覆盖尤为重要：当检测到前方动子距离过近时，可以临时降低 v_max 或提高 d_max，使动子提前减速。

下图展示了单个动子从位置 0 运动到 500 mm 时，梯形曲线与S曲线在位置、速度、加速度三个维度上的对比关系。图中横轴为时间，纵轴分别对应位置、速度、加速度，虚线为梯形曲线，实线为S曲线。

从图中可以直观看出：S曲线在位置和速度上更平滑，加速度曲线没有阶跃，而是以 j_max 为斜率线性上升和下降。梯形曲线的加速度在 t_acc 时刻直接从 a_max 跳变到 0，这一跳变在XTS中会表现为动子与轨道之间的冲击力，长期运行可能加速导轨磨损。

4.5 轨迹表示与碰撞避免的衔接

在碰撞避免算法中，每个动子的轨迹通常以“位置-时间”序列的形式存储，采样周期与XTS控制周期一致（典型为 1 ms 或 2 ms）。算法在每个周期检查任意两个动子的位置差是否小于安全间距 s_safe。若小于，则触发减速或停止。

由于S曲线的加速度连续，其位置序列的二阶差分也连续，因此基于位置序列的碰撞预测比梯形曲线更稳定。在工程实践中，建议对参与碰撞避免的动子统一采用S曲线规划，或至少保证 j_max 不为零，以避免加速度突变导致的预测误差。

总结来说，单个动子的运动学建模是XTS碰撞避免的基础。位置、速度、加速度三者通过微分和积分相互关联；梯形曲线参数少、计算快，S曲线更平滑、冲击小；在TwinCAT中通过Velocity、Acceleration、Deceleration、Jerk四个参数完成参数化。理解这些参数对轨迹形状的影响，才能在碰撞避免中合理设置减速策略和安全间距。