2. 动子运动学与占位建模

在 XPlanar 系统中，动子（Mover）是承载工件、在定子（Tile）阵列上方自由悬浮运动的执行单元。碰撞检测的第一步，不是去比较两个动子的中心距离，而是把每个动子抽象成一个随时间变化的“占位体”，并在此基础上叠加安全边界。本节要建立的，正是这样一个可计算、可比较、可随状态更新的对象模型。

一、动子的几何与物理参数

XPlanar 动子常见规格包括单磁体、双磁体等不同尺寸，其外形通常为矩形或正方形。建模时至少需要以下参数：

• 本体尺寸：长 L、宽 W，例如某型号动子 L=120 mm、W=120 mm；
• 有效载荷：动子可承载的工件质量 m，以及工件自身的几何外廓；
• 悬浮高度：动子底面与定子表面之间的气隙 h，典型值在 0.5～2 mm 量级；
• 运动自由度：X、Y 平面平移，绕 Z 轴旋转角度 θ，以及绕 X、Y 轴的倾斜（通常用于调平或姿态控制）。

需要特别注意的是，工件往往比动子本体更大或形状不规则。因此占位模型不能只用动子本体尺寸，而应取“动子本体 ∪ 工件外廓”的并集，作为实际占位轮廓。若工件悬出动子边缘，占位区域会显著扩大，直接影响安全间距的取值。

二、坐标系与位姿描述

为统一描述，先约定：以定子阵列平面为 XY 平面，Z 轴垂直向上，动子中心在 XY 平面的投影为 (x, y)，旋转角 θ 为动子本体长边与 X 轴正方向的夹角，逆时针为正。于是动子的位姿可写为：

P(t) = [ x(t), y(t), θ(t), h(t) ]

其中 h(t) 为悬浮高度。在正常悬浮工况下 h 基本恒定，但在起浮、降落或异常跌落时 h 会快速变化，此时占位体在 Z 方向上的投影也会改变，碰撞判断需要引入高度维度。

三、占位区域的数学描述

若动子本体为矩形，其局部坐标下的四个角点为 (±L/2, ±W/2)。经过旋转 θ 和平移 (x, y) 后，世界坐标下的角点可表示为：

x_i = x + (L/2)·cosθ·s_i - (W/2)·sinθ·t_i
y_i = y + (L/2)·sinθ·s_i + (W/2)·cosθ·t_i
其中 (s_i, t_i) ∈ {(+1,+1), (+1,-1), (-1,+1), (-1,-1)}

由四个角点即可构成一个旋转矩形，这就是动子的占位区域（Occupancy Region）。若工件外廓更复杂，可用凸多边形或包围盒近似，再统一变换到世界坐标。

四、安全边界与膨胀模型

仅有占位区域还不够。实际调度中必须预留安全边界，用于吸收定位误差、通信延迟、控制超调和测量噪声。常用做法是对占位区域做“膨胀”（Minkowski 和）：

SafeRegion = OccupancyRegion ⊕ Disk(r_safe)
r_safe = r_pos + r_comm + r_ctrl + r_margin

其中 r_pos 为定位误差，r_comm 为通信周期内动子可能移动的距离，r_ctrl 为控制超调量，r_margin 为工程余量。例如：定位误差 0.2 mm、通信周期 1 ms 内最大速度 1 m/s 对应 1 mm、控制超调 0.5 mm、余量 0.3 mm，则 r_safe ≈ 2.0 mm。这个数值直接决定了两个动子中心距离的最小允许值。

五、运动自由度与占位体的动态更新

动子在运动过程中，占位区域不是静态的。每经过一个控制周期，位姿 P(t) 都会更新，占位区域的四个角点随之重新计算。若动子同时旋转，其外接圆半径会变化，安全边界也需按当前姿态重新膨胀。工程上常用两种简化：

• 外接圆近似：用动子外接圆半径 R = √((L/2)² + (W/2)²) 作为占位半径，计算简单但偏保守；
• 旋转矩形精确计算：用分离轴定理（SAT）判断两个旋转矩形是否相交，精度高但计算量略大。

对于实时调度，通常先用外接圆做快速粗筛，再用 SAT 做精确复核，兼顾速度与准确性。

六、建模成果与参数示例

下表给出一个可直接用于碰撞检测的动子对象模型示例，参数为教学假设值，实际工程需以设备手册和现场标定为准。

完成上述建模后，每个动子就拥有了一个随时间更新的占位体：由位姿 P(t) 驱动，由几何参数决定形状，由安全半径决定膨胀量。后续的碰撞检测、路径规划和调度决策，都将基于这个统一的对象模型展开。