4. 凸轮曲线类型与适用工况
在电子凸轮系统中，从轴的位置由主轴的相位角通过一条数学曲线映射得到。这条曲线决定了从轴在每一时刻的速度、加速度乃至加加速度（Jerk）。曲线选得对不对，直接决定了设备是平稳运行、高速高产，还是振动、过冲、甚至丢步报警。本节围绕四类最常用的凸轮曲线——多项式、正弦、修正正弦、梯形速度——讲清它们的运动特性、适用工况和选型方法。
一、先建立三个评价维度
评价一条凸轮曲线，工程上主要看三个量：
- 速度峰值 Vmax：决定从轴电机的转速上限，影响是否超速。
- 加速度峰值 Amax：决定所需转矩，影响电机与驱动器选型。
- 加加速度峰值 Jmax：决定冲击与振动，影响机械寿命和噪声。
在相同的行程和相同的运动时间下，不同曲线的 Vmax、Amax、Jmax 差异很大。选型的本质，就是在“快、稳、省”之间做取舍。下面用归一化行程（行程=1）和归一化时间（运动时间=1）来对比，这样结论与具体行程无关，可直接套用。
二、四类曲线的运动特性
多项式曲线是最基础的一类。三次多项式（3-4-5 曲线）通过给定起点和终点的位置、速度、加速度共六个边界条件求解，得到一条光滑曲线。它的特点是加速度连续、无突变，但加速度峰值偏高，Vmax≈1.88、Amax≈5.77（归一化值）。五次多项式（4-5-6-7）进一步约束加加速度，Jmax 更小，运动更柔和，但计算量略大。多项式曲线的优点是灵活，可以任意指定边界速度，适合需要“带初速度衔接”的场合，比如从轴在进入凸轮区前已经在匀速运动。
正弦曲线（摆线类）的加速度按正弦规律变化，加速度曲线连续且光滑，Jmax 有限。其归一化 Vmax≈2.0、Amax≈6.28。正弦曲线计算简单、对称性好，是很多控制器默认的曲线类型。它的短板是加速度峰值比修正正弦高约 25%，在高速工况下转矩需求更大。
修正正弦曲线是工程上最常用的“均衡型”曲线。它在正弦曲线的基础上，把加速度峰值削平、把加加速度峰值压低，归一化 Vmax≈1.76、Amax≈5.53、Jmax≈69.5。相比正弦，它的加速度峰值降低约 12%，振动明显减小，而运动时间不变。因此在包装、贴标、电子组装等中高速设备上，修正正弦往往是首选。
梯形速度曲线由“加速—匀速—减速”三段组成，加速度是矩形波，理论上 Amax 最小（归一化 Amax≈4.0），但加速度在起止点发生阶跃，Jmax 趋于无穷，会产生明显冲击。它的优点是速度曲线简单、匀速段便于工艺操作（如涂胶、检测），适合低速重载或对匀速段有工艺要求的场合。高速时必须配合 S 形加减速（梯形加速度）来平滑冲击。
归一化对比（行程=1，时间=1）：
| 曲线类型 | Vmax | Amax | Jmax | 特性 |
|---|---|---|---|---|
| 三次多项式 | 1.88 | 5.77 | 60 | 灵活，可指定边界速度 |
| 正弦 | 2.00 | 6.28 | 39.5 | 光滑，计算简单 |
| 修正正弦 | 1.76 | 5.53 | 69.5 | 均衡，振动小 |
| 梯形速度 | 2.00 | 4.00 | ∞ | 匀速段好，冲击大 |
需要说明：上表为归一化理论值，用于横向比较；实际选型时还要结合电机转矩、负载惯量比和机械刚度综合判断。
三、选型方法：从工况反推曲线
选型不是先挑曲线再套工况，而是从工况约束出发反推。建议按以下顺序判断：
- 看是否有匀速工艺段。如果从轴在运动过程中需要保持一段匀速（如涂胶、视觉检测、同步贴附），优先选梯形速度或带匀速段的多项式；否则选修正正弦或正弦。
- 看速度上限。用 Vmax 归一化值乘以“行程/运动时间”，得到实际峰值速度，与电机额定转速比较。若接近上限，优先选 Vmax 较小的修正正弦（1.76）而非正弦（2.0）。
- 看转矩余量。用 Amax 归一化值乘以“行程/运动时间²”，再乘以负载惯量和传动比，估算峰值转矩。若余量不足，选 Amax 较小的梯形速度或修正正弦。
- 看振动与噪声要求。高速、轻载、高精度场合，Jmax 越小越好，修正正弦和五次多项式优于梯形速度。
- 看边界条件。若从轴在凸轮区前后已有速度，必须用能指定边界速度的多项式，否则会在衔接点产生速度突变。
经验口诀：低速重载看转矩选梯形；中高速通用选修正正弦；需要柔性衔接选多项式；追求计算简单选正弦。多数包装与电子组装设备，修正正弦能覆盖 70% 以上的工况。
四、一个可复算的选型示例
假设某贴标机从轴行程 S=200 mm，运动时间 T=0.25 s，负载折算到电机轴的惯量 J=0.002 kg·m²，传动比 i=10 mm/rev，电机额定转速 3000 rpm，额定转矩 1.5 N·m。先算基础量：
平均速度 = S / T = 200 / 0.25 = 800 mm/s
平均角速度 = 800 / 10 = 80 rev/s = 4800 rpm （已超额定，需重新评估）
可见平均速度已超电机额定转速，说明该工况本身偏激进，需要先降低节拍或加大传动比。假设把传动比改为 20 mm/rev，则平均角速度 = 800/20 = 40 rev/s = 2400 rpm，留有余量。此时用修正正弦：
Vmax = 1.76 × 800 = 1408 mm/s
ωmax = 1408 / 20 = 70.4 rev/s = 4224 rpm （仍超额定）
说明即使换修正正弦，峰值转速仍超限。此时应优先考虑延长运动时间或改用更大行程比的机构，而不是继续换曲线。这个例子说明：曲线选型不能突破电机的能力边界，它只能在边界内优化。若把 T 放宽到 0.4 s，则 Vmax=1.76×500=880 mm/s，ωmax=880/20=44 rev/s=2640 rpm，进入可用区间。
五、选型决策表
| 工况特征 | 推荐曲线 | 理由 |
|---|---|---|
| 低速重载、有匀速工艺段 | 梯形速度（配 S 形） | Amax 小，匀速段稳定 |
| 中高速通用、振动敏感 | 修正正弦 | Vmax/Amax/Jmax 均衡 |
| 需要指定边界速度衔接 | 三次或五次多项式 | 边界条件灵活 |
| 计算资源有限、对称运动 | 正弦 | 公式简单、对称性好 |
| 超高速、超精密 | 五次多项式或修正梯形 | Jmax 最小，冲击最低 |
常见误区：认为“曲线越高级越好”。实际上，若电机转矩和转速余量充足，正弦曲线完全够用；盲目上五次多项式会增加控制器计算负担，且对机械刚度的改善有限。选型的核心是匹配工况，而非追求曲线阶次。
总结本节：多项式灵活、正弦简单、修正正弦均衡、梯形速度适合匀速工艺。选型时先看工艺是否需要匀速段，再用 Vmax 和 Amax 校核电机转速与转矩，最后用 Jmax 判断振动水平。曲线只是手段，电机能力边界才是硬约束。