3. 机械传动与负载建模

伺服驱动系统选型时，电机轴端看到的并不是负载的真实惯量，而是经过传动机构"折算"后的等效惯量。折算的本质是能量守恒：传动机构本身不消耗能量（忽略摩擦和弹性变形），因此负载端的动能必须等于电机端等效惯量所对应的动能。理解这一点，就能统一处理丝杠、齿轮、皮带等所有传动形式。

一、折算的基本原则

设电机角速度为 ω_m，负载角速度为 ω_L，传动比 i = ω_m/ω_L。负载惯量 J_L 折算到电机轴的等效惯量 J_eq 满足：

½ · J_eq · ω_m² = ½ · J_L · ω_L²
J_eq = J_L · (ω_L / ω_m)² = J_L / i²

关键结论：惯量按传动比的平方反比折算。传动比越大，负载惯量折算到电机轴后越小，这是减速机能够"放大"电机驱动能力的原因。同时，负载转矩按传动比一次方折算：T_eq = T_L/i。方向约定：本文以电机正转方向为正向，负载侧转矩折算后符号与电机转向一致时为正。

二、丝杠传动折算

滚珠丝杠是最常见的直线传动机构。设丝杠导程为 P_h（mm/r），工作台及负载总质量为 m（kg），丝杠自身转动惯量为 J_s（kg·m²），减速比（电机到丝杠）为 i。工作台做直线运动，其等效到丝杠轴的惯量为：

J_worktable = m · (P_h / 2π)²   [P_h 单位换算为 m/r]
J_screw_shaft = J_s + J_worktable
J_eq = J_screw_shaft / i²

教学示例：某水平轴工作台质量 m = 200 kg，丝杠导程 P_h = 10 mm/r = 0.01 m/r，丝杠转动惯量 J_s = 1.2×10⁻³ kg·m²，电机经 i = 2 的减速机驱动丝杠。则：

J_worktable = 200 × (0.01 / 6.2832)² ≈ 200 × 2.533×10⁻⁶ ≈ 5.07×10⁻⁴ kg·m²
J_screw_shaft = 1.2×10⁻³ + 5.07×10⁻⁴ ≈ 1.71×10⁻³ kg·m²
J_eq = 1.71×10⁻³ / 2² ≈ 4.27×10⁻⁴ kg·m²

若电机转子惯量 J_m = 2.0×10⁻⁴ kg·m²，则惯量比 = J_eq/J_m ≈ 2.14，属于较理想的匹配范围（通常建议小于 5～10，动态要求高时小于 3）。

三、齿轮传动折算

多级齿轮传动时，各级惯量需逐级折算。设第 k 级从动轮惯量为 J_k，该级传动比为 i_k（主动/从动），则折算到电机轴的总等效惯量为：

J_eq = J_1/i_1² + J_2/(i_1·i_2)² + J_3/(i_1·i_2·i_3)² + …

注意：齿轮自身的惯量也要计入，且越靠近负载端的惯量被折算得越小。因此高速轴上的齿轮惯量对系统影响最大，设计时应优先减小高速级齿轮的转动惯量。

四、皮带传动折算

同步带传动中，主动轮和从动轮半径分别为 r₁、r₂，传动比 i = r₂/r₁。负载惯量 J_L 挂在从动轮上，皮带及负载质量 m 做直线运动时：

J_eq = J_1 + (J_2 + J_L + m·r_2²) / i²

其中 J₁、J₂ 分别为主动轮、从动轮惯量。皮带传动通常存在弹性滑动，折算时按理想刚性处理，实际调试中需通过陷波滤波器抑制皮带弹性引起的谐振。

五、综合负载模型与计算流程

实际系统往往是"电机—减速机—丝杠—工作台"或"电机—齿轮—皮带—负载"的复合结构。建立负载模型时，按以下顺序处理：

1. 确定从电机到负载的完整传动链，标出每一级的传动比和转动惯量。
2. 从最靠近负载的部件开始，逐级向电机轴折算，每经过一级除以该级传动比的平方。
3. 直线运动部件先按 J = m·(P_h/2π)² 或 J = m·r² 折算为旋转惯量，再参与后续折算。
4. 将所有折算结果相加，得到电机轴总等效惯量 J_eq。
5. 计算惯量比 J_eq/J_m，判断是否在允许范围内；若过大，考虑增大减速比或减小负载质量。

六、等效惯量的验证与调整

完成折算后，可通过以下方式验证模型是否合理：

• 加速转矩校核：T_acc = (J_m + J_eq)·α，其中 α 为要求的角加速度。若 T_acc 超过电机峰值转矩的 80%，说明惯量比偏大或加速度要求过高。
• 频率响应观察：在伺服调试软件中查看速度环频率响应，若出现明显机械谐振峰，说明折算时忽略的弹性环节（皮带、联轴器、丝杠扭转）不可忽略，需加入双惯量模型并配置陷波滤波器。
• 实际运行电流：在相同加速度下，若电机电流接近额定值而负载并未达到预期速度，通常意味着等效惯量被低估或摩擦转矩未计入。

下面用一张关系图汇总三类传动机构的折算路径与关键参数，便于对照使用。

把上述折算结果代入加速转矩公式，即可判断电机能否在要求时间内把负载加速到目标速度。若惯量比超标，优先调整减速比，因为惯量按 i² 变化，效果最直接；其次考虑减轻运动部件质量或选用转子惯量更大的电机。完成折算只是第一步，实际调试中还需结合频率响应和电流波形，确认模型是否遗漏了弹性或摩擦环节。