2. UR机器人坐标系与位姿表示

在UR机器人的视觉标定与精密抓取中，所有“位置”和“姿态”都必须依附于明确的坐标系才有意义。同一物理点，在基坐标系、工具坐标系或相机坐标系下的数值完全不同。因此，理解UR的坐标系体系与位姿表示方法，是后续手眼标定、TCP标定和抓取点换算的基础。

一、UR的坐标系体系

UR控制器内部维护着多个坐标系，最核心的是基坐标系（Base）和工具坐标系（Tool / TCP）。

基坐标系固定在机器人底座安装面上，原点位于底座中心，Z轴垂直向上，X、Y轴按右手定则分布。它是机器人运动学的参考原点，所有关节角度最终都换算到基坐标系下描述末端位置。基坐标系不随机器人运动而改变，是“绝对参考”。

工具坐标系附着在末端法兰或工具上，随机器人一起运动。UR默认的法兰坐标系原点在法兰盘中心，Z轴指向法兰外侧（沿工具安装方向）。当安装夹爪、吸盘或焊枪后，真正的作业点往往不在法兰中心，而在工具末端，因此需要定义TCP（Tool Center Point，工具中心点）。

TCP是工具坐标系的原点，也是机器人做姿态旋转时的“旋转中心”。例如夹爪抓取时，希望夹爪指尖中心点到达目标，而不是法兰中心到达目标。TCP定义就是描述“工具末端相对于法兰坐标系的位置和姿态”。UR中通过TCP偏移量（x, y, z, rx, ry, rz）来定义：前三个量是工具末端在法兰坐标系下的平移，后三个量是工具坐标系相对法兰坐标系的旋转。

二、旋转向量与旋转矩阵

姿态的数学表示有多种形式，UR主要使用旋转向量（Rotation Vector），而底层计算和视觉库常用旋转矩阵（Rotation Matrix）。

旋转向量又称轴角表示：用一个三维向量描述旋转，向量方向表示旋转轴，向量长度（模）表示绕该轴旋转的角度（弧度）。例如旋转向量 (0, 0, 1.5708) 表示绕Z轴旋转约90°。UR的位姿数据中，rx、ry、rz就是旋转向量的三个分量。它的优点是紧凑（3个参数），便于示教器输入和网络传输。

旋转矩阵是一个3×3正交矩阵，列向量分别表示旋转后坐标系的三个轴在原坐标系下的方向。它没有奇异点，便于连续变换和矩阵乘法组合，但需要9个参数且存在冗余。旋转向量与旋转矩阵之间可通过罗德里格斯公式（Rodrigues' formula）互相转换。

设旋转向量为 r = θ·k（k为单位轴，θ为角度），则旋转矩阵：

R = I + sinθ·[k]× + (1-cosθ)·[k]ײ

其中 [k]× 为 k 的反对称矩阵：
[ 0   -kz   ky ]
[ kz   0   -kx ]
[-ky   kx    0 ]

反向转换时，旋转角 θ = arccos((tr(R)-1)/2)，旋转轴由 R 的特征值1对应的特征向量给出。UR示教器显示的rx、ry、rz正是旋转向量，而URScript和RTDE接口也以旋转向量传输位姿。

三、UR位姿数据格式与转换

UR中一个完整位姿用6个量表示：[x, y, z, rx, ry, rz]。前三个是位置（单位mm），后三个是旋转向量（单位rad）。例如：

p[0.300, -0.150, 0.420, 3.1416, 0.0, 0.0]

表示末端在基坐标系下位于 (300, -150, 420) mm，姿态为绕X轴旋转180°（旋转向量模为π，方向为X轴）。

实际工程中经常需要在不同表示之间转换：

• 旋转向量 → 旋转矩阵：用于与视觉库（如OpenCV）对接，进行坐标变换。
• 旋转矩阵 → 旋转向量：把视觉计算结果转回UR可执行的位姿格式。
• 基坐标系 ↔ 工具坐标系：通过工具偏移量做齐次变换，把基坐标系下的目标点换算成工具坐标系下的运动指令。

齐次变换矩阵形式为：

T = [ R  t ]
    [ 0  1 ]

其中 R 为3×3旋转矩阵，t 为3×1平移向量。
基坐标系下的点 P_base 与工具坐标系下的点 P_tool 满足：
P_base = T_tool_in_base · P_tool

在URScript中，可用 pose_trans() 和 pose_inv() 完成位姿组合与求逆，避免手工推导矩阵。

四、工程中的关键约定

在UR视觉抓取项目中，必须统一以下约定，否则会出现“方向反了”“姿态差180°”等典型问题：

• 旋转方向：UR旋转向量遵循右手定则，逆时针为正。绕Z轴旋转+90°对应旋转向量 (0, 0, 1.5708)。
• 单位：UR位姿位置单位为米（m）或毫米（mm）取决于接口，URScript中p[]使用米，而示教器显示常用毫米，转换时务必核对。
• 姿态顺序：旋转向量是轴角表示，不是欧拉角。不要把它当作“先绕X、再绕Y、再绕Z”的欧拉角来理解，否则姿态计算会出错。
• TCP与法兰：视觉给出的目标点通常是“工具末端应到达的位置”，而机器人运动指令默认针对法兰或已激活的TCP。若未正确设置TCP，抓取点会整体偏移一个工具长度。