2. Sigma伺服系统机械传动链建模

在Sigma伺服系统的振动抑制与共振治理中，第一步不是急着调陷波滤波器，而是先弄清楚“振动到底发生在哪一段机械链路上”。伺服驱动器看到的只有电机电流、编码器位置和速度，但真正决定共振频率的，往往是电机之后那一长串机械传动环节：联轴器、丝杠、螺母座、导轨滑块、工作台与负载。把这些环节抽象成可计算的模型，才能解释为什么同一组增益在不同机台上表现完全不同。

一、为什么要把机械链等效成两质量模型

真实的进给轴有无数个弹性环节，若按有限元方式建模，参数多到无法用于伺服整定。工程上最有效的降维方法是：把“电机转子+电机侧联轴器半体”合并为第一质量 \(J_m\)，把“丝杠+螺母+工作台+负载”合并为第二质量 \(J_l\)，两者之间用一根等效扭转弹簧 \(K_c\) 和等效阻尼 \(C_c\) 连接。这样，一个复杂机械链就变成只有两个惯性、一个弹簧、一个阻尼的二阶系统，其共振频率与反共振频率可以直接写出解析式，用于指导陷波滤波器频率设定。

需要强调的是，两质量模型不是“简化到失真”，而是抓住了主导共振模态。对于联轴器刚性较好、丝杠较长的机台，第一共振通常就是电机—负载之间的扭转模态；对于皮带传动或长行程齿条，则可能需要三质量甚至更多。Sigma调试中常见的“机械共振”多数可用两质量模型解释。

二、各环节的刚度与阻尼参数含义

联轴器扭转刚度 Kc：这是两质量模型中最关键的参数。膜片联轴器、波纹管联轴器刚度高，共振频率高；梅花联轴器、十字滑块联轴器刚度低，共振频率低且阻尼较大。Kc 的单位是 N·m/rad，表示每弧度扭转角需要多少力矩。若联轴器选型过软，第一共振频率可能落到 100～300 Hz，正好落在速度环带宽附近，表现为电机啸叫或定位抖动。

丝杠轴向刚度 Ks：滚珠丝杠在轴向力作用下会产生弹性伸长，其刚度与丝杠直径、支撑方式、螺母预压有关。固定—支撑方式比两端固定方式刚度低约 4 倍。Ks 折算到电机轴时需乘以 (导程/2π)²，因此大导程丝杠会显著降低折算刚度，使共振频率下降。

导轨与螺母阻尼：滚动导轨的阻尼很小，通常只有临界阻尼的 1%～5%，这是机械共振尖锐、容易激发的原因。滑动导轨阻尼大，共振峰平缓，但摩擦非线性会带来爬行。在模型中用等效粘性阻尼 Cc 表示，其值往往通过实验辨识而非计算获得。

负载惯量 Jl：包括工作台质量、工件质量、丝杠转动惯量折算值。惯量比 Jl/Jm 越大，反共振频率越低，且共振峰越靠近反共振峰，控制难度越大。Sigma 选型时通常建议惯量比控制在 10 以内，高动态场合控制在 5 以内。

三、从机械参数到模型参数的折算示例

假设某进给轴：电机转子惯量 Jm = 0.5×10⁻⁴ kg·m²，联轴器扭转刚度 Kc = 800 N·m/rad，丝杠导程 Pb = 10 mm，工作台+工件质量 M = 80 kg，丝杠转动惯量 Js = 0.3×10⁻⁴ kg·m²。先折算负载侧总惯量：

负载折算惯量 Jl = M × (Pb / 2π)² + Js
             = 80 × (0.010 / 6.283)² + 0.3×10⁻⁴
             = 80 × 2.533×10⁻⁶ + 0.3×10⁻⁴
             = 2.026×10⁻⁴ + 0.3×10⁻⁴
             = 2.326×10⁻⁴ kg·m²

反共振频率 fr = √(Kc / Jl) / 2π
             = √(800 / 2.326×10⁻⁴) / 6.283
             = √(3.439×10⁶) / 6.283
             ≈ 1855 / 6.283 ≈ 295 Hz

共振频率 fn = √(Kc × (1/Jm + 1/Jl)) / 2π
           = √(800 × (20000 + 4299)) / 6.283
           = √(1.944×10⁷) / 6.283
           ≈ 4409 / 6.283 ≈ 702 Hz

这组数据说明：该轴存在 295 Hz 反共振点和 702 Hz 共振点。若速度环带宽设在 100 Hz 左右，295 Hz 反共振不会直接造成问题，但 702 Hz 共振若被增益激发，就会在转矩指令上出现明显振荡。此时可在 Sigma 的陷波滤波器中将频率设为 700 Hz 附近，宽度设为 2～3，深度根据振荡幅度调整。

四、模型精度与使用边界

两质量模型能解释第一共振和反共振，但无法描述丝杠高阶弯曲模态、工作台俯仰模态、皮带多级传动等。当现场出现多个共振峰，或共振频率随行程位置明显变化时，说明模型阶次不足。此时应优先检查机械装配：联轴器是否松动、丝杠支撑轴承预压是否合适、导轨滑块是否卡滞。很多所谓“共振”其实是机械松动或润滑不良造成的非线性振动，调滤波器只能掩盖问题。

建模的最终目的不是算出精确频率，而是建立“机械参数—共振频率—伺服增益—滤波器设置”之间的因果链。当你能说清 Kc 降低会使 fn 下降、Jl 增大会使 fr 下降、阻尼不足会使峰值升高，就已经具备了对 Sigma 振动问题做系统性判断的基础。