2. 伺服系统运动学与动力学基础

伺服选型不是先看型号，而是先把机械侧的运动与受力关系算清楚。Yaskawa Sigma 系列选型手册中反复强调的“负载转矩、负载惯量比、加减速转矩、连续与峰值转矩”，本质上都来自同一组物理量：转速决定电机运行在什么速度区间，惯量决定加速有多费力，转矩决定电机能否带动负载，而加减速曲线决定这些需求在时间轴上如何叠加。只有把这四个量放在同一坐标系里，才能判断一台电机是“勉强能转”还是“长期可靠”。

一、转速与角速度：先统一单位

伺服电机铭牌上的额定转速通常以 r/min 给出，例如 3000 r/min；而运动学计算中角速度用 rad/s 更方便。两者换算关系为：

ω = 2πn / 60
n = 60ω / (2π)

其中 n 为转速（r/min），ω 为角速度（rad/s）。例如 3000 r/min 对应 ω ≈ 314 rad/s。直线运动则通过丝杠导程 P_b（mm/r）换算：负载速度 v（mm/s）与电机转速 n 的关系为 v = n·P_b/60。若要求工作台以 500 mm/s 运行、丝杠导程 10 mm/r，则电机转速需达到 3000 r/min，正好落在额定点附近，这是选型时希望看到的匹配状态。

二、惯量：加速难易的度量

转动惯量 J（kg·m²）表示物体抵抗角速度变化的程度。伺服系统关注两个惯量：电机转子惯量 J_M 和折算到电机轴的负载惯量 J_L。负载惯量比 R = J_L/J_M 是 Sigma 选型中最关键的指标之一。一般建议 R ≤ 5 可获得良好响应；R 在 5～10 之间需降低增益并谨慎调试；R > 10 时容易出现振荡、定位超调，通常需要减速机或更大惯量电机。

常见机械的负载惯量折算公式如下（均折算到电机轴）：

• 丝杠传动：J_L = J_丝杠 + (m·P_b²)/(4π²) + J_联轴器，其中 m 为工作台及负载总质量（kg），P_b 单位为 m/r。
• 齿轮/减速机：J_L = J_负载/i² + J_齿轮，i 为减速比。
• 皮带轮：J_L = (m·D²)/4 + J_轮，D 为轮径（m）。

举例：工作台质量 80 kg，丝杠导程 10 mm/r = 0.01 m/r，丝杠自身惯量 1.2×10⁻⁴ kg·m²，联轴器 0.3×10⁻⁴ kg·m²。则 m·P_b²/(4π²) = 80×0.0001/39.48 ≈ 2.03×10⁻⁴ kg·m²，J_L ≈ 3.53×10⁻⁴ kg·m²。若选用转子惯量 0.67×10⁻⁴ kg·m² 的电机，R ≈ 5.3，处于需谨慎调试的边界，可考虑加装减速比 i=2 的减速机，使折算惯量降为约 0.88×10⁻⁴ kg·m²，R 降至约 1.3，响应明显改善。

三、转矩：连续与峰值两条红线

转矩 T（N·m）与角加速度 α（rad/s²）的关系为 T = J·α。伺服电机有两个必须同时满足的转矩约束：

• 连续转矩（额定转矩）：电机可长期输出的转矩，受发热限制。均方根转矩 T_rms 必须小于额定转矩，否则电机持续过载会触发过热报警或缩短寿命。
• 峰值转矩：电机短时（通常数秒）可输出的最大转矩，一般为额定转矩的 2～3 倍。加速阶段所需转矩必须小于峰值转矩，并留 20%～30% 余量。

负载转矩 T_L 由重力、摩擦、切削力等构成。以垂直丝杠为例，提升质量 m 所需重力转矩为 T_g = m·g·P_b/(2π·η)，η 为机械效率（滚珠丝杠约 0.9）。若 m = 50 kg、P_b = 0.01 m/r，则 T_g ≈ 50×9.8×0.01/(2π×0.9) ≈ 0.87 N·m。摩擦转矩通常取 0.1～0.3 N·m，因此静态负载转矩约 1.0～1.2 N·m。

四、加减速曲线与转矩需求

加速转矩 T_a = (J_M + J_L)·α。若要求 0→3000 r/min 在 0.1 s 内完成，则 α = 314/0.1 = 3140 rad/s²。取 J_M+J_L = 4.2×10⁻⁴ kg·m²，T_a ≈ 1.32 N·m。加速阶段总转矩 T_acc = T_a + T_L ≈ 2.4 N·m，必须小于峰值转矩。匀速阶段仅需克服 T_L，减速阶段转矩为 T_L − T_a（可能为负，表示回馈制动）。

梯形速度曲线的均方根转矩需按各阶段时间加权计算：T_rms = √[(T_acc²·t_a + T_L²·t_c + T_dec²·t_d)/(t_a+t_c+t_d+t₀)]，其中 t₀ 为停留时间。该值必须小于额定转矩。S 形曲线通过限制加加速度（jerk）降低冲击，但加速时间会略长，需重新核算 T_a 与 T_rms。

五、把计算落到选型判断上

完成上述计算后，选型判断可归纳为四条同时成立的约束：加速阶段总转矩小于峰值转矩并留有余量；一个工作循环的均方根转矩小于额定转矩；惯量比在可接受范围；最高运行转速不超过额定转速（若需超过，应确认电机恒功率区能力）。任何一条不满足，都应优先调整机械参数（减小质量、增大导程、加减速机）或更换更大规格电机，而不是仅靠提高增益“压住”振荡。