4. 相机成像模型与坐标系
在KUKA机器人视觉抓取系统中，要让机器人知道“目标在空间中的哪个位置”，必须先把图像上的一个像素点，逐步还原到机器人能够理解的三维世界坐标。这个过程依赖四个层层递进的坐标系：像素坐标系、图像坐标系、相机坐标系和世界坐标系。理解它们的定义与转换关系，是后续相机标定、手眼标定和抓取位姿计算的基础。
四个坐标系的定义
像素坐标系以图像左上角为原点，单位为像素。通常记作 (u, v)，u 向右为正，v 向下为正。它直接对应图像矩阵的行列索引，是我们在图像处理中最早接触到的坐标。
图像坐标系同样位于成像平面上，但原点移到光轴与图像平面的交点（主点），单位为物理长度（如毫米）。记作 (x, y)，x 向右、y 向下，与像素坐标方向一致。像素坐标与图像坐标之间通过像素物理尺寸 dx、dy 和主点像素坐标 (u₀, v₀) 建立线性关系：
u = x / dx + u₀
v = y / dy + v₀相机坐标系以相机光心为原点，Zc 轴沿光轴指向拍摄方向，Xc、Yc 分别与图像坐标系的 x、y 平行，单位为毫米。它描述的是目标相对于相机的位置，是连接二维图像与三维空间的关键一环。
世界坐标系是描述真实场景的绝对坐标系，可根据需要定义在机器人基座、标定板或工作台上。记作 (Xw, Yw, Zw)，单位为毫米。相机坐标系与世界坐标系之间通过旋转矩阵 R 和平移向量 t 建立刚体变换关系。
从像素到世界的转换链
整个转换可以拆成三步：像素坐标 → 图像坐标 → 相机坐标 → 世界坐标。前两步是平面内的线性缩放与平移，第三步是透视投影的逆过程，第四步是刚体变换。
由针孔相机模型，相机坐标系下的点 (Xc, Yc, Zc) 投影到图像坐标满足：
x = f · Xc / Zc
y = f · Yc / Zc其中 f 为焦距。写成齐次矩阵形式，即内参矩阵 K：
[u] [fx 0 u₀] [Xc/Zc]
[v] = [0 fy v₀] [Yc/Zc]
[1] [0 0 1] [ 1 ]其中 fx = f/dx，fy = f/dy。内参矩阵只与相机自身有关，通过相机标定获得。
相机坐标系到世界坐标系的变换为：
[Xc] [Xw]
[Yc] = R · [Yw] + t
[Zc] [Zw]R 和 t 合称外参，描述相机在世界坐标系中的位姿。在KUKA手眼系统中，若相机固定在机器人末端（eye-in-hand），外参还会随机器人运动变化，需要结合手眼标定矩阵一起使用。
一个教学示例
假设某相机标定后得到内参：fx = 1200 px，fy = 1200 px，u₀ = 640 px，v₀ = 360 px。图像中检测到目标中心像素坐标为 (820, 480)，已知目标在相机坐标系下的深度 Zc = 500 mm。先求图像坐标：
x = (820 - 640) × 500 / 1200 = 75 mm
y = (480 - 360) × 500 / 1200 = 50 mm于是相机坐标系下目标点为 (75, 50, 500) mm。若外参 R 为单位阵、t = (0, 0, 0)，则世界坐标也是 (75, 50, 500) mm。若相机安装在机器人末端，还需通过手眼矩阵把该点转换到机器人基座坐标系，才能发送给KUKA控制器执行抓取。
转换关系总览
上图中，从左到右依次是四个坐标系及其转换条件。实际工程中，内参 K 由相机标定得到，外参 R、t 由手眼标定得到，深度 Zc 由深度传感器或已知平面提供。三者缺一不可，否则无法完成从像素到世界坐标的完整还原。
在KUKA抓取中的实际意义
当机器人接收到一个抓取任务时，视觉系统输出的通常是像素坐标 (u, v)。要把它变成机器人能执行的位姿，需要依次完成：用内参把像素坐标转为相机坐标下的方向向量，结合深度得到相机坐标下的三维点，再用外参和手眼矩阵转换到机器人基座坐标系，最后叠加抓取姿态偏移量，生成 KUKA 可识别的 XYZABC 位姿。整个链条中任何一步参数错误，都会导致抓取点偏移。因此，标定完成后应通过已知世界坐标的标定板角点进行反向验证：把角点的世界坐标投影到图像，与检测到的像素坐标比较，误差通常应控制在 1～2 像素以内。
理解这四个坐标系的定义和转换关系，不仅有助于正确配置标定参数，也能在抓取出现偏差时快速定位问题出在哪一层转换，是视觉抓取调试中最重要的基础之一。