4. 相机模型与坐标系
在四相机3D线扫系统中，理解相机如何将三维世界映射到二维图像是标定的理论基础。本节将系统阐述针孔相机模型、内参矩阵、畸变模型以及世界坐标系到像素坐标系的完整转换链路。
4.1 针孔相机模型
针孔相机模型是几何光学中最基础的成像模型。它假设光线通过一个无限小的孔（光心）在成像平面上形成倒立的实像。为简化数学表达，通常将成像平面对称到光心前方，形成虚拟成像平面，使图像保持正立。
核心假设： 针孔模型忽略镜头厚度与畸变，认为所有光线均沿直线穿过光心，满足中心投影关系。
设空间点 P = (X, Y, Z) 在相机坐标系下的坐标为 (Xc, Yc, Zc)，其在归一化成像平面上的投影点坐标为：
x' = X<sub>c</sub> / Z<sub>c</sub>
y' = Y<sub>c</sub> / Z<sub>c</sub>这一过程将三维点压缩到二维归一化平面，是后续所有坐标转换的起点。
4.2 内参矩阵
内参矩阵描述了从归一化成像平面坐标到像素坐标的仿射变换。它将物理尺寸（毫米）转换为像素尺寸，并考虑主点偏移和像素轴倾斜。
内参矩阵 K 的数学形式为：
K = [ f<sub>x</sub> 0 c<sub>x</sub> ]
[ 0 f<sub>y</sub> c<sub>y</sub> ]
[ 0 0 1 ]| 参数 | 符号 | 含义 | 单位 |
|---|---|---|---|
| 焦距分量 | fx, fy | fx = f / dx，fy = f / dy，其中 dx, dy 为像元尺寸 | 像素 |
| 主点坐标 | cx, cy | 光轴与成像平面交点的像素坐标 | 像素 |
| 倾斜因子 | s | 像素轴倾斜参数（通常为0） | — |
标定要点： 对于线扫相机，fx 和 fy 通常不相等，且 cx 可能偏离图像中心。四相机联合标定时，每个相机独立标定其内参矩阵。
4.3 畸变模型
实际镜头存在光学畸变，使成像偏离理想针孔模型。畸变主要分为径向畸变和切向畸变两类。
4.3.1 径向畸变
径向畸变由镜头曲率引起，表现为图像点沿径向方向偏移。畸变大小与点到主点的距离呈多项式关系：
x<sub>distorted</sub> = x' * (1 + k<sub>1</sub>r² + k<sub>2</sub>r⁴ + k<sub>3</sub>r⁶)
y<sub>distorted</sub> = y' * (1 + k<sub>1</sub>r² + k<sub>2</sub>r⁴ + k<sub>3</sub>r⁶)其中 r² = x'² + y'²，k1、k2、k3 为径向畸变系数。
4.3.2 切向畸变
切向畸变由镜头与成像平面不平行引起，导致图像点沿切线方向偏移：
x<sub>distorted</sub> = x' + [2p<sub>1</sub>x'y' + p<sub>2</sub>(r² + 2x'²)]
y<sub>distorted</sub> = y' + [p<sub>1</sub>(r² + 2y'²) + 2p<sub>2</sub>x'y']其中 p1、p2 为切向畸变系数。
工程注意： 线扫相机通常只标定径向畸变的前两项（k1、k2），切向畸变影响较小。过度拟合高阶畸变参数可能导致标定结果不稳定。
4.4 世界坐标系到像素坐标系的完整转换
从世界坐标系中的三维点 Pw 到最终像素坐标 (u, v) 的转换分为四个步骤：
- 世界坐标系 → 相机坐标系：通过外参矩阵（旋转矩阵 R 和平移向量 t）实现刚体变换。
- 相机坐标系 → 归一化成像平面：除以 Z 坐标，得到归一化坐标 (x', y')。
- 畸变校正：应用径向和切向畸变模型，得到畸变后的归一化坐标 (xd, yd)。
- 归一化坐标 → 像素坐标：通过内参矩阵 K 进行仿射变换。
完整的数学表达式为：
1. [X<sub>c</sub>, Y<sub>c</sub>, Z<sub>c</sub>]<sup>T</sup> = R · [X<sub>w</sub>, Y<sub>w</sub>, Z<sub>w</sub>]<sup>T</sup> + t
2. x' = X<sub>c</sub> / Z<sub>c</sub>, y' = Y<sub>c</sub> / Z<sub>c</sub>
3. x<sub>d</sub> = x'·(1 + k<sub>1</sub>r² + k<sub>2</sub>r⁴) + [2p<sub>1</sub>x'y' + p<sub>2</sub>(r² + 2x'²)]
y<sub>d</sub> = y'·(1 + k<sub>1</sub>r² + k<sub>2</sub>r⁴) + [p<sub>1</sub>(r² + 2y'²) + 2p<sub>2</sub>x'y']
4. u = f<sub>x</sub>·x<sub>d</sub> + c<sub>x</sub>
v = f<sub>y</sub>·y<sub>d</sub> + c<sub>y</sub>
四相机联合标定中的坐标系关系： 每个相机独立拥有自己的相机坐标系和像素坐标系。联合标定的核心是求解四个相机坐标系之间的相对位姿（Rij, tij），以及它们与全局世界坐标系的统一转换关系。
4.5 坐标系转换总结
| 坐标系 | 符号 | 维度 | 说明 |
|---|---|---|---|
| 世界坐标系 | (Xw, Yw, Zw) | 3D | 全局参考系，通常以标定板或测量台为基准 |
| 相机坐标系 | (Xc, Yc, Zc) | 3D | 以光心为原点，Z轴沿光轴方向 |
| 归一化成像平面 | (x', y') | 2D | Zc = 1 的虚拟平面，无单位 |
| 畸变校正后平面 | (xd, yd) | 2D | 应用畸变模型后的归一化坐标 |
| 像素坐标系 | (u, v) | 2D | 图像数组的行列索引，单位为像素 |
理解上述坐标系转换链是进行四相机联合标定的前提。在实际标定流程中，每个相机先独立求解内参和畸变参数，再通过共视特征点求解外参，最终统一到世界坐标系下。