3. 坐标系与动力学基础

多旋翼的建模与参数辨识，第一步不是写公式，而是把“谁相对谁、往哪个方向、绕哪根轴”说清楚。坐标系定义混乱，后续的推力分配、姿态解算和参数辨识都会出现符号错误。本节围绕机体坐标系、电机布局、推力矢量、反扭矩、陀螺力矩以及六自由度运动方程，建立一套可直接用于辨识实验的动力学描述框架。

一、机体坐标系与地面坐标系

多旋翼建模通常使用两个坐标系：地面惯性坐标系 E={Oe, Xe, Ye, Ze} 与机体坐标系 B={Ob, Xb, Yb, Zb}。地面系采用“北-东-地”右手系，Ze 指向地心；机体系原点取在质心，Xb 指向机头，Yb 指向右侧，Zb 指向机腹下方。这样定义后，悬停时 Zb 与 Ze 同向，姿态角与加速度符号更直观。

机体系到地面系的旋转矩阵由欧拉角 φ, θ, ψ（滚转、俯仰、偏航）构成。若采用 Z-Y-X 顺序，旋转矩阵可写为：

R = Rz(ψ) * Ry(θ) * Rx(φ)

R = [ cθcψ,  sφsθcψ - cφsψ,  cφsθcψ + sφsψ
      cθsψ,  sφsθsψ + cφcψ,  cφsθsψ - sφcψ
      -sθ,   sφcθ,             cφcθ          ]

其中 c 表示 cos，s 表示 sin。该矩阵把机体系下的向量映射到地面系，是后续位置、速度与加速度建模的基础。

二、电机布局与推力矢量

常见四旋翼采用 X 型布局，四个电机编号为 1~4，分别位于机体系四个象限。以机头方向为 Xb，电机 1 在右前、电机 2 在左后、电机 3 在左前、电机 4 在右后，或按厂商约定编号。每个电机产生的推力沿 -Zb 方向（即向上），大小与转速平方近似成正比：

Ti = kT * ωi^2

其中：
Ti  —— 第 i 个电机推力（N）
kT  —— 推力系数（N·s^2/rad^2）
ωi  —— 第 i 个电机转速（rad/s）

推力矢量在机体系下为 [0, 0, -Ti]^T。四个推力合成总推力 T = ΣTi，同时通过力臂产生三轴力矩。力臂向量 ri 由电机安装位置决定，例如 X 型布局中：

r1 = ( L/√2,  L/√2, 0)
r2 = (-L/√2, -L/√2, 0)
r3 = (-L/√2,  L/√2, 0)
r4 = ( L/√2, -L/√2, 0)

L 为对角电机轴距

每个电机推力对机体产生的力矩为 ri × [0,0,-Ti]^T，展开后得到滚转、俯仰、偏航三轴力矩分量。这一步是推力分配矩阵的核心。

三、反扭矩与偏航力矩

螺旋桨旋转时，空气对桨叶产生反作用扭矩，方向与旋转方向相反。若电机 1、3 顺时针旋转，电机 2、4 逆时针旋转，则反扭矩在机体系 Zb 轴上相互抵消或叠加。单个电机反扭矩为：

Qi = kQ * ωi^2

kQ —— 反扭矩系数（N·m·s^2/rad^2）

偏航力矩 Mz 由四个反扭矩合成，符号取决于旋转方向。X 型布局中，若 1、3 为 CW，2、4 为 CCW，则：

Mz = -Q1 + Q2 - Q3 + Q4

当四个电机转速相等时，Mz 近似为零，机体不产生偏航运动；当左右转速差变化时，Mz 驱动偏航角加速。反扭矩系数 kQ 与推力系数 kT 的比值 kQ/kT 是辨识中的重要参数，直接影响偏航通道的响应。

四、陀螺力矩

高速旋转的螺旋桨具有角动量。当机体发生俯仰或滚转运动时，旋转的转子会产生陀螺力矩，其表达式为：

τ_gyro = -J_r * (ω_body × Ω_r)

J_r   —— 单个转子转动惯量
ω_body —— 机体角速度 [p, q, r]^T
Ω_r   —— 转子相对机体的角速度标量

在四旋翼中，若四个转子转向两两相反，陀螺力矩会部分抵消，但在快速机动或单轴转速差较大时仍不可忽略。尤其在参数辨识实验中，若忽略陀螺项，辨识出的转动惯量会出现系统性偏差。因此，六自由度模型必须保留陀螺力矩项。

五、多旋翼六自由度运动方程

综合上述力与力矩，多旋翼的平动与转动方程可写为：

平动：
m * V_dot = R * [0, 0, -T]^T + [0, 0, m*g]^T + F_drag

转动：
J * ω_dot = τ_thrust + τ_gyro + τ_drag - ω × (J * ω)

其中：
m      —— 机体质量
V      —— 地面系速度
R      —— 机体到地面旋转矩阵
T      —— 总推力
g      —— 重力加速度
J      —— 机体转动惯量矩阵
ω      —— 机体角速度
τ_thrust —— 推力产生的力矩
τ_gyro   —— 陀螺力矩
τ_drag   —— 气动阻尼力矩

该方程组是后续参数辨识的“母模型”。辨识任务就是从实验数据中估计 m, J, kT, kQ, k_drag 等参数，并验证模型预测与实际飞行的一致性。

六、参数与物理意义对照表

参数	物理意义	典型单位	辨识方法
m	机体总质量	kg	称重法
J	三轴转动惯量	kg·m²	摆锤法/系统辨识
kT	推力系数	N·s²/rad²	拉力台静态测试
kQ	反扭矩系数	N·m·s²/rad²	扭矩台静态测试
L	对角轴距	m	几何测量
J_r	转子转动惯量	kg·m²	升速/降速实验
k_drag	气动阻尼系数	N·m·s/rad	自由衰减实验

七、典型误区与复盘

• 误区一：机体系 Zb 取向上。若 Zb 向上，悬停推力方向与重力方向符号相反，容易在代码中反复出错。建议统一采用 Zb 向下。
• 误区二：忽略反扭矩符号。偏航通道对电机转向极其敏感，编号与转向必须与推力分配矩阵严格一致。
• 误区三：在低速悬停辨识中忽略陀螺力矩。悬停时角速度小，陀螺项可近似忽略；但快速滚转或俯仰时，陀螺项可达总力矩的 10%~20%。
• 误区四：把 kT 当作常数。实际 kT 随桨叶雷诺数、来流速度和电池电压变化，高精度辨识需引入电压补偿或转速闭环。