📚 课程目录第3章坐标系与运动变量

3. 坐标系与运动变量

在固定翼气动系数辨识中，所有气动力和力矩最终都要写成“相对于某个坐标系”的分量。如果坐标系定义不统一，即使飞控日志、风洞数据和CFD结果本身都正确，辨识出的 \(C_L\)、\(C_D\)、\(C_m\) 也会出现符号错误或量纲混乱。因此，本节先把三套坐标系、欧拉角、角速率、迎角与侧滑角，以及它们之间的转换关系梳理清楚，为后续参数化建模和回归辨识打下基础。

一、三套坐标系的定义与用途

固定翼工程中常用的坐标系有三套，它们原点通常都取在飞机重心，但轴的方向不同：

机体轴系（Body Frame）：\(x_b\) 指向机头，\(y_b\) 指向右翼，\(z_b\) 指向机腹。它随飞机一起运动，是飞控角速率 \(p,q,r\) 和惯性测量单元输出的基准。
气流轴系（Wind/Air Frame）：\(x_w\) 沿空速矢量方向，\(z_w\) 在飞机对称面内垂直于 \(x_w\) 向下，\(y_w\) 构成右手系。升力、阻力、侧力天然定义在气流轴系中，是气动系数辨识的核心坐标系。
地轴系（Earth/NED Frame）：\(x_e\) 指北，\(y_e\) 指东，\(z_e\) 指向地心。它用于描述航迹、位置和重力方向，是导航与轨迹分析的基准。

三套坐标系的关系可以概括为：地轴系描述“飞机在哪、往哪飞”，机体轴系描述“飞机自身姿态”，气流轴系描述“气流相对飞机从哪来”。气动系数辨识本质上是在气流轴系中建立力与力矩模型，而传感器测量往往在机体轴系中完成，因此必须掌握三者之间的旋转关系。

二、欧拉角与角速率

从地轴系到机体轴系的姿态通常用 3-2-1 欧拉角描述：偏航角 \(\psi\)、俯仰角 \(\theta\)、滚转角 \(\phi\)。旋转顺序为：先绕 \(z_e\) 转 \(\psi\)，再绕新的 \(y\) 轴转 \(\theta\)，最后绕新的 \(x\) 轴转 \(\phi\)。对应的方向余弦矩阵为：

R_be = R_x(phi) * R_y(theta) * R_z(psi)

其中：
R_z(psi)   = [ cosψ  sinψ  0
              -sinψ  cosψ  0
               0     0    1 ]
R_y(theta) = [ cosθ  0  -sinθ
               0     1    0
               sinθ  0   cosθ ]
R_x(phi)   = [ 1    0     0
               0   cosφ  sinφ
               0  -sinφ  cosφ ]

角速率 \(p,q,r\) 是机体轴系下的三轴角速度，分别对应滚转、俯仰和偏航。它们与欧拉角变化率的关系为：

[ p ]   [ 1   0        -sinθ      ] [ φ_dot ]
[ q ] = [ 0  cosφ   sinφ·cosθ     ] [ θ_dot ]
[ r ]   [ 0 -sinφ   cosφ·cosθ     ] [ ψ_dot ]

在辨识中，\(p,q,r\) 通常直接来自陀螺仪，而 \(\phi,\theta,\psi\) 来自姿态解算。需要注意的是，当俯仰角接近 \(\pm 90^\circ\) 时，上述关系会出现奇异，此时应改用四元数或旋转矩阵进行姿态传播。

三、迎角、侧滑角与气流轴系转换

迎角 \(\alpha\) 和侧滑角 \(\beta\) 是描述气流相对机体方向的两个关键变量。设机体轴系下的空速分量为 \(u,v,w\)，则：

alpha = atan2(w, u)
beta  = asin(v / V)
V     = sqrt(u^2 + v^2 + w^2)

从机体轴系到气流轴系的旋转可以分解为：先绕 \(y_b\) 转 \(\alpha\)，再绕 \(z_b\) 转 \(-\beta\)。因此气流轴系下的力分量与机体轴系下的力分量满足：

[ Fx_w ]         [ Fx_b ]
[ Fy_w ] = R_wb  [ Fy_b ]
[ Fz_w ]         [ Fz_b ]

R_wb = R_z(-beta) * R_y(alpha)

在气流轴系中，阻力 \(D\) 沿 \(-x_w\)，侧力 \(Y\) 沿 \(y_w\)，升力 \(L\) 沿 \(-z_w\)。气动系数定义为：

C_D = D / (q_inf * S)
C_Y = Y / (q_inf * S)
C_L = L / (q_inf * S)
q_inf = 0.5 * rho * V^2

其中 \(q_{\infty}\) 为动压，\(S\) 为机翼参考面积。力矩系数 \(C_l,C_m,C_n\) 则通常定义在机体轴系中，分别对应滚转、俯仰和偏航力矩。

四、转换关系汇总与工程对照

下表汇总了三套坐标系的核心变量、典型传感器来源和辨识用途，便于在工程中快速对照：

坐标系	主要变量	典型来源	辨识用途
地轴系	位置、地速、航迹角	GNSS、惯导组合	轨迹重建、重力补偿
机体轴系	\(u,v,w\)、\(p,q,r\)、\(\phi,\theta,\psi\)	IMU、空速管、姿态解算	力矩系数建模、状态方程
气流轴系	\(V,\alpha,\beta\)、\(C_L,C_D,C_Y\)	空速管、攻角/侧滑角传感器	气动力系数辨识

五、典型场景：从试飞数据到气动系数

假设一次纵向机动试飞中，采样得到机体轴系下的 \(u,w\)、俯仰角速率 \(q\)、俯仰角 \(\theta\)，以及动压 \(q_{\infty}\)。辨识流程如下：

由 \(u,w\) 计算迎角 \(\alpha = \mathrm{atan2}(w,u)\) 和空速 \(V\)。
利用 \(q_{\infty} = 0.5\rho V^2\) 计算动压，并做大气密度修正。
将机体轴系下的力测量值通过 \(R_{wb}\) 投影到气流轴系，得到升力 \(L\) 和阻力 \(D\)。
计算 \(C_L = L/(q_{\infty}S)\)、\(C_D = D/(q_{\infty}S)\)。
以 \(\alpha\)、\(q\)、舵面偏度为回归量，拟合 \(C_L(\alpha,q,\delta_e)\) 和 \(C_m(\alpha,q,\delta_e)\)。

如果忽略气流轴系与机体轴系的差异，直接把机体轴系的 \(z_b\) 向力当作升力，就会在迎角较大时引入 \(\cos\alpha\) 量级的系统误差，导致 \(C_L\) 曲线斜率被低估。

工程提示：在数据预处理阶段，建议统一保存三套坐标系下的中间变量，尤其是 \(R_{be}\)、\(R_{wb}\) 和 \(\alpha,\beta\)。这样在后续更换辨识算法或调整模型结构时，不必反复重算坐标转换。

六、常见误区与复盘

符号约定不统一：不同教材对 \(z_b\) 向上或向下、\(\beta\) 正方向的定义不同。辨识前必须在数据字典中明确写出每个变量的正方向。
把欧拉角变化率当作角速率：\(\dot{\phi},\dot{\theta},\dot{\psi}\) 与 \(p,q,r\) 只有在特定姿态下才近似相等，大机动时必须使用完整转换矩阵。
忽略风的影响：地速与空速不同，\(\alpha,\beta\) 应由空速分量计算，而不是由地速分量计算。有风时两者差异显著。
奇异姿态处理不当：俯仰角接近 \(\pm 90^\circ\) 时欧拉角奇异，应改用四元数或方向余弦矩阵传播姿态。

掌握三套坐标系及其转换关系，是气动系数辨识从“数据”走向“模型”的第一步。只有在统一的坐标框架下，升力、阻力、侧力与力矩才能被正确分离，后续的参数化建模和回归辨识才有物理意义。