4. 预测模型

在模型预测控制（MPC）中，预测模型是整个滚动优化框架的“发动机”。它决定了控制器能否在每一个采样时刻，基于当前状态和未来控制输入，准确推演出系统在未来一段时间内的行为轨迹。没有预测模型，滚动优化就失去了依据；预测模型不准确，再精巧的优化算法也无法保证闭环性能。本节围绕三个核心问题展开：状态预测方程如何建立、预测时域与控制时域如何区分、预测矩阵如何构建与递推计算。

一、核心原理：从状态空间到预测方程

MPC 最常用的预测模型是离散线性状态空间模型。设系统在时刻 k 的状态为 x(k)，控制输入为 u(k)，则标准离散模型可写为：

x(k+1) = A x(k) + B u(k)
y(k)   = C x(k) + D u(k)

其中 A 为状态矩阵，B 为输入矩阵，C 为输出矩阵，D 为直馈矩阵。若系统为时变或非线性，可在工作点附近线性化后得到局部线性模型，或直接使用非线性模型进行预测。预测的本质是：已知当前状态 x(k)，假设未来控制序列为 u(k), u(k+1), …, u(k+Nc-1)，递推计算未来 Np 步的状态和输出。

二、预测时域与控制时域

预测时域 Np（Prediction Horizon）表示控制器向前看多少步，即优化问题中考虑的未来输出或状态的范围。控制时域 Nc（Control Horizon）表示未来实际允许变化的控制输入步数。通常 Nc ≤ Np，且在 Nc 步之后，控制量保持不变或按某种规律衰减。

两者的关系直接影响控制性能与计算量：Np 过短，控制器“目光短浅”，容易忽略未来约束；Np 过长，计算负担增加，且模型误差累积可能降低预测可信度。Nc 过小，控制自由度不足，系统响应迟缓；Nc 过大，优化变量增多，实时性下降。工程中常取 Nc 为 Np 的 10%～30%，或根据系统阶跃响应时间与采样周期确定。

三、预测矩阵的构建与递推计算

为了将预测过程写成紧凑的矩阵形式，便于优化求解，需要构建预测矩阵。以状态预测为例，从 x(k) 出发，逐步递推：

x(k+1|k) = A x(k) + B u(k)
x(k+2|k) = A x(k+1|k) + B u(k+1)
         = A² x(k) + A B u(k) + B u(k+1)
...
x(k+Np|k) = A^Np x(k) + Σ_{i=0}^{Np-1} A^{Np-1-i} B u(k+i)

将未来所有状态堆叠为向量 X = [x(k+1|k); x(k+2|k); …; x(k+Np|k)]，控制输入堆叠为 U = [u(k); u(k+1); …; u(k+Nc-1)]，则可写成：

X = F x(k) + Φ U

其中 F 为状态预测矩阵，Φ 为控制输入影响矩阵。类似地，输出预测可写为 Y = C X + D U，进一步整理为 Y = F_y x(k) + Φ_y U。这种矩阵形式将滚动优化问题转化为标准的二次规划（QP）或线性规划问题，极大方便了求解器实现。

四、案例与场景：温度控制系统

考虑一个一阶温度控制系统，采样周期 Ts = 1s，离散模型为：

A = 0.95, B = 0.05, C = 1, D = 0
Np = 10, Nc = 3

当前温度 x(k) = 25°C，目标温度 r = 30°C。控制器需要计算未来 3 步的加热功率 u(k), u(k+1), u(k+2)，并预测未来 10 步的温度。通过构建预测矩阵，优化器在满足加热功率约束 0 ≤ u ≤ 1 的前提下，最小化温度跟踪误差与控制增量。若 Np 取 5，控制器可能只关注前 5 秒，导致温度上升后期出现超调；若 Nc 取 1，则控制量在第一步后保持不变，响应变慢。合理选择 Np 和 Nc 是调试 MPC 的关键环节。

五、常见误区与复盘

复盘时，应重点检查预测模型的离散化方法、Np 与 Nc 的匹配性、预测矩阵的维度一致性，以及递推计算中的数值稳定性。只有预测模型准确、时域参数合理、矩阵构建无误，MPC 才能在滚动优化中发挥出真正的约束处理与前瞻控制优势。