3. 系统建模

在MPC约束优化与滚动控制的工程实现中，模型是预测未来轨迹的唯一依据。模型是否准确、离散化是否合理、状态是否可测、非线性是否被恰当处理，直接决定滚动优化能否收敛到可行且稳定的控制量。本节围绕连续与离散状态空间模型、传递函数、状态观测器与模型线性化四条主线，建立从物理对象到可计算预测模型的完整链路。

一、连续状态空间与离散化：预测模型的起点

连续被控对象通常写成标准状态空间形式：

ẋ(t) = A x(t) + B u(t) + E d(t)
 y(t) = C x(t) + D u(t)

其中 x 为状态，u 为控制输入，d 为可测或不可测扰动，y 为量测输出。MPC在数字控制器中以固定采样周期 Ts 运行，因此必须把连续模型离散化为 x(k+1)=Ad x(k)+Bd u(k)。最常用的方法是零阶保持（ZOH）离散化：

Ad = exp(A·Ts)
Bd = ∫₀^{Ts} exp(A·τ) dτ · B

当 Ts 远小于系统最小时间常数时，也可用前向欧拉近似 Ad≈I+A·Ts、Bd≈B·Ts，计算量小但精度有限。离散化步长必须与MPC预测步长、控制步长一致，否则预测轨迹与实际响应会出现系统性偏差。对于刚性系统，建议采用矩阵指数或双线性变换，避免欧拉法在大步长下失稳。

二、传递函数与状态空间的相互转换

传递函数 G(s)=C(sI−A)⁻¹B+D 描述输入输出关系，适合频域分析与辨识；状态空间则便于处理多变量、初始条件与约束。两者可通过可控标准型、可观标准型互相转换。在MPC中，若对象以传递函数给出，可先转为状态空间再离散化，便于统一处理多输入多输出与状态约束。

三、状态观测器：让不可测状态可预测

MPC的预测方程需要完整状态 x(k)。若部分状态无法直接测量，必须设计状态观测器。Luenberger观测器形式为：

x̂(k+1) = Ad x̂(k) + Bd u(k) + L(y(k) − C x̂(k))
ŷ(k)   = C x̂(k)

增益 L 通过极点配置或卡尔曼滤波确定。工程上常采用卡尔曼滤波，因为它在噪声统计已知时能给出最小方差估计，并且天然适合与MPC的滚动时域结合。观测器极点应比闭环控制器极点快2～5倍，保证估计误差在预测窗口内收敛。若观测器带宽过高，会放大测量噪声，导致控制量抖动；带宽过低，则状态估计滞后，预测轨迹偏离真实状态。

四、模型线性化：非线性对象的局部近似

许多工业对象本质非线性，如机器人动力学、化工反应器、飞行器姿态。MPC若直接使用非线性模型，会带来非凸优化问题。常用做法是在工作点 (x₀,u₀) 处进行一阶泰勒展开：

ẋ ≈ f(x₀,u₀) + Aₗ(x−x₀) + Bₗ(u−u₀)
Aₗ = ∂f/∂x |(x₀,u₀)
Bₗ = ∂f/∂u |(x₀,u₀)

定义偏差变量 Δx=x−x₀、Δu=u−u₀，得到线性增量模型 Δẋ=AₗΔx+BₗΔu。该模型仅在平衡点附近有效，因此需要配合增益调度或滚动线性化：每个采样时刻用当前状态重新计算 Aₗ、Bₗ，再离散化并送入MPC。对于强非线性系统，还可采用反馈线性化或分段仿射模型，但会显著增加在线计算量。

五、案例：倒立摆MPC建模流程

以倒立摆为例，物理模型为非线性微分方程，状态包括小车位置、速度、摆角、角速度。首先在竖直平衡点 (x₀=0,u₀=0) 处线性化，得到 Aₗ、Bₗ；然后以 Ts=0.02 s 进行ZOH离散化，得到 Ad、Bd；由于摆角速度难以直接测量，设计卡尔曼观测器估计完整状态；最后将离散模型与观测器接入MPC，预测未来20步，控制步长5步。若工作点偏离较大，每50 ms重新线性化一次，保证预测精度。

六、建模检查清单

• 连续模型是否与物理对象量纲、符号一致？
• 离散化方法是否与Ts匹配，是否验证过离散模型与连续模型的阶跃响应一致性？
• 传递函数转状态空间时是否检查可控性与可观性？
• 观测器增益是否通过极点配置或卡尔曼滤波整定，带宽是否合适？
• 线性化工作点是否随滚动时域更新，偏差变量是否在MPC中正确还原？
• 预测模型、观测器、约束条件是否使用同一套状态定义与坐标？

系统建模是MPC约束优化与滚动控制的地基。只有把连续对象正确离散化、把不可测状态可靠估计、把非线性对象在工作点附近合理线性化，滚动优化才能在每一步获得可信的预测轨迹，进而输出满足约束的控制量。