📚 课程目录第2章谐波基础

2. 谐波基础

在电力系统中，理想的交流电压和电流是频率单一、波形光滑的正弦波。但实际电网中大量存在非线性负载，例如整流器、变频器、开关电源、电弧炉和饱和变压器，它们会使电流不再跟随电压按正弦规律变化，从而形成非正弦周期波。谐波分析的任务，就是把这一个“畸变了的周期波”拆解成若干标准正弦分量，并量化各分量对电能质量的影响。

核心结论：任何满足狄里赫利条件的非正弦周期波，都可以分解为一个直流分量与一系列频率为基波整数倍的正弦波之和。这些整数倍频率分量就是谐波。

一、从正弦波到非正弦周期波

正弦波可用瞬时表达式描述：

u(t) = Um · sin(ωt + φ)
其中：
Um   —— 幅值
ω    —— 角频率，ω = 2πf
f    —— 频率，我国工频为 50 Hz
φ    —— 初相角
T    —— 周期，T = 1/f = 20 ms

正弦波只有幅值、频率、相位三个参数，波形光滑、无突变。当负载非线性时，电流波形会出现尖顶、平顶、缺口或脉冲，虽然仍以 50 Hz 为周期重复，但不再是纯正弦波，这类波形称为非正弦周期波。非正弦周期波仍具有周期 T，因此其基波频率仍为 50 Hz，但其中叠加了 100 Hz、150 Hz、250 Hz 等分量。

二、傅里叶级数：谐波分析的数学基础

傅里叶级数把周期为 T 的函数 f(t) 展开为三角级数形式：

f(t) = a0 + Σ[ an·cos(nωt) + bn·sin(nωt) ]
n = 1,2,3,...

也可写成幅值—相位形式：
f(t) = A0 + Σ An·sin(nωt + φn)

其中：
A0   —— 直流分量
A1   —— 基波幅值
An   —— 第 n 次谐波幅值
n    —— 谐波次数
ω    —— 基波角频率

在工程中，我们通常更关心各次谐波的幅值和相位，而不是原始波形。通过傅里叶变换或 DFT/FFT 算法，可以把采样得到的电压、电流离散数据转换成频谱，得到 1 次、3 次、5 次、7 次等谐波含量。这也是谐波检测仪、电能质量分析仪和继电保护装置内部最核心的运算之一。

三、谐波次数与典型频谱

谐波次数 n 定义为谐波频率与基波频率的比值：

n = fn / f1
f1 = 50 Hz

n = 1   基波       50 Hz
n = 2   2 次谐波   100 Hz
n = 3   3 次谐波   150 Hz
n = 5   5 次谐波   250 Hz
n = 7   7 次谐波   350 Hz

不同非线性负载产生的谐波次数不同。单相整流、开关电源常含 3 次、5 次谐波；三相六脉波整流器主要产生 5、7、11、13 次谐波；十二脉波整流器则把主要谐波推向 11、13、23、25 次。谐波次数可以帮助我们判断谐波源类型，并决定滤波器调谐频率。

谐波次数	频率	典型来源	主要危害
3 次	150 Hz	单相整流、荧光灯、开关电源	中性线电流叠加、变压器过热
5 次	250 Hz	三相六脉波整流、变频器	电压畸变、电容器过流
7 次	350 Hz	三相六脉波整流、电弧炉	电机附加损耗、振动
11 次	550 Hz	十二脉波整流、中频炉	高频谐振、通信干扰
13 次	650 Hz	十二脉波整流、UPS	电容器组过载、保护误动

四、总谐波畸变率 THD

为了用一个数值衡量波形偏离正弦波的程度，引入总谐波畸变率 THD。对电压和电流分别定义为：

THD_U = √(Σ Uh²) / U1 × 100%
THD_I = √(Σ Ih²) / I1 × 100%

其中：
Uh —— 第 h 次谐波电压有效值，h ≥ 2
Ih —— 第 h 次谐波电流有效值，h ≥ 2
U1 —— 基波电压有效值
I1 —— 基波电流有效值

THD 越大，说明波形畸变越严重。工程上通常要求电压 THD 不超过 5%，电流 THD 根据负载类型和容量有不同限值。需要注意的是，THD 只反映谐波总量，不反映具体是哪一次谐波占主导，因此实际分析中还要结合各次谐波含有率。

各次谐波含有率 HRh = Ih / I1 × 100%。THD 与各次 HRh 的关系为：THD = √(Σ HRh²)。例如 5 次含有率 20%、7 次含有率 10%，则 THD ≈ √(0.2² + 0.1²) ≈ 22.4%。

五、案例：变频器负载的谐波检测

某工厂一台 380 V、50 Hz 变频器驱动电机，用谐波分析仪测得电流波形为平顶波。检测结果如下：

基波电流 I1 = 100 A
5 次谐波电流 I5 = 28 A
7 次谐波电流 I7 = 12 A
11 次谐波电流 I11 = 6 A
其余谐波忽略

计算：
THD_I = √(28² + 12² + 6²) / 100 × 100%
      = √(784 + 144 + 36) / 100 × 100%
      = √964 / 100 × 100%
      ≈ 31.0%

该电流 THD 达到 31%，说明变频器是明显的谐波源。若在配电母线上并联电容器组，5 次或 7 次谐波可能被放大，甚至引发谐振。因此需要配置 5 次、7 次单调谐滤波器或采用有源电力滤波器进行补偿。

六、常见误区与复盘

误区一：只看电压 THD，不看电流 THD。电压畸变往往由电流谐波在系统阻抗上产生，电流谐波才是源头，必须同时检测。
误区二：认为 THD 越低越好，忽略各次谐波分布。某些场合 3 次谐波对中性线影响极大，即使 THD 不高，也可能造成中性线过载。
误区三：把谐波次数与频率混为一谈。3 次谐波是 150 Hz，不是 3 Hz；谐波次数是频率倍数，不是频率本身。
误区四：忽略相位信息。多谐波源叠加时，相位差可能导致谐波相互抵消或放大，仅看幅值会误判。

谐波检测时，采样率必须满足奈奎斯特采样定理，且要覆盖到至少 25 次或 50 次谐波。若采样率不足，会出现频谱混叠，导致谐波次数和幅值判断错误。

掌握正弦波、非正弦周期波、傅里叶级数、谐波次数和 THD 这几个基本概念后，就能读懂谐波检测报告中的频谱图、柱状图和畸变率指标，也能进一步判断谐波源类型、选择滤波器形式，并为后续电流补偿控制策略提供依据。