📚 课程目录第2章模型预测控制基础

2. 模型预测控制基础

模型预测控制（Model Predictive Control，MPC）并不是一个单一算法，而是一类以“模型预测—滚动优化—反馈校正”为核心机制的控制方法族。理解这三要素，是后续掌握 FCS-MPC 开关状态优化的前提。本节先建立 MPC 的通用原理框架，再对比连续控制集 MPC（CCS-MPC）与有限控制集 MPC（FCS-MPC）的本质差异。

一、MPC 的基本原理：三要素闭环

MPC 在每个采样周期内做三件事：用预测模型推算未来一段时间内系统在不同控制作用下的输出轨迹；在有限时域内求解一个优化问题，使预测轨迹尽可能贴近参考值并满足约束；只执行优化解的第一个控制量，下一周期用新的测量值重新预测和优化。这种“预测—优化—执行—再预测”的循环，使 MPC 天然具备处理多变量、约束和非线性的能力。

其核心可概括为三个关键词：预测模型、滚动优化、反馈校正。预测模型决定“能看多远”，滚动优化决定“怎么选”，反馈校正决定“错了怎么纠”。三者缺一不可，否则 MPC 退化为开环最优控制或普通反馈控制。

二、预测模型：MPC 的“眼睛”

预测模型是 MPC 区别于 PID 的关键。PID 只看当前误差，MPC 则利用模型“预演”未来。常见预测模型包括状态空间模型、传递函数离散化模型、阶跃响应模型等。以三相逆变器为例，其离散状态空间可写为：

x(k+1) = A x(k) + B u(k)
y(k)   = C x(k)

其中：
x = [iα, iβ]ᵀ        定子电流在 αβ 轴分量
u = [vα, vβ]ᵀ        逆变器输出电压矢量
A = 1 - (Rs/Ls)·Ts    离散化系统矩阵
B = Ts/Ls             输入矩阵
Ts                    采样周期

预测模型越准确，预测轨迹越接近真实，优化效果越好。但模型精度与计算量存在权衡：高阶模型更准，但求解更慢。FCS-MPC 通常采用较简单的离散模型，以换取在线枚举的实时性。

三、滚动优化：MPC 的“大脑”

滚动优化是在每个采样周期求解一个有限时域优化问题。目标函数通常由跟踪误差和控制代价组成：

J = Σ_{i=1}^{Np} ‖y*(k+i) - y(k+i)‖²
  + λ Σ_{j=0}^{Nc-1} ‖Δu(k+j)‖²

Np：预测时域
Nc：控制时域（Nc ≤ Np）
λ：控制增量权重
y*：参考轨迹

优化变量是未来 Nc 步的控制增量。求解得到最优序列后，只取第一个控制量施加到系统，下一周期用新状态重新求解。这种“滚动”机制使 MPC 能持续修正，而不是一次性离线计算。

滚动优化的本质是“局部最优 + 持续修正”。它不追求全局最优，而是在每个采样周期内基于最新信息做出当前最优决策，从而适应时变和扰动。

四、反馈校正：MPC 的“纠偏”

预测模型不可能完全准确，外部扰动和参数漂移也会导致预测偏差。反馈校正通过测量实际输出，与预测输出比较，得到偏差并用于修正下一周期的预测起点。常见做法包括：

输出误差反馈：将 y_meas(k) 与 y_pred(k) 之差加到预测模型上。
状态估计器：用 Kalman 滤波或 Luenberger 观测器估计不可测状态。
扰动观测器：将集总扰动估计出来并前馈补偿。

没有反馈校正，MPC 就是开环最优控制，模型失配会直接导致稳态误差。反馈校正使 MPC 具备闭环鲁棒性，这也是它能在工业过程中长期稳定运行的原因。

五、CCS-MPC 与 FCS-MPC 的区别

根据控制集是否连续，MPC 分为连续控制集 MPC（CCS-MPC）和有限控制集 MPC（FCS-MPC）。两者在优化变量、求解方式和应用场景上有本质差异。

对比维度	CCS-MPC	FCS-MPC
控制集	连续，u ∈ ℝ	离散有限，u ∈ {u₁, u₂, …, uₙ}
优化变量	连续电压/电流矢量	开关状态组合
求解方式	二次规划/非线性规划	在线枚举所有候选矢量
调制器	需要 PWM/SVPWM 调制	无需调制器，直接输出开关信号
开关频率	固定，由载波决定	可变，取决于采样周期和代价函数
计算量	较高，依赖 QP 求解器	较低，适合实时实现
典型应用	电机驱动、过程控制	逆变器、整流器、变频器

以两电平三相逆变器为例，FCS-MPC 的候选电压矢量只有 8 个（6 个有效矢量 + 2 个零矢量）。每个采样周期遍历这 8 个矢量，预测各自对应的电流，选择使代价函数最小的一个直接输出。这种“枚举—预测—选优”的方式，正是 FCS-MPC 开关状态优化的核心。

常见误区：认为 FCS-MPC 不需要模型。实际上 FCS-MPC 同样依赖预测模型，只是模型通常较简单；模型失配时，FCS-MPC 的稳态性能会明显恶化，甚至出现电流纹波增大和开关频率发散。

六、案例场景：三相逆变器电流控制

设采样周期 Ts = 50 μs，预测时域 Np = 1，控制时域 Nc = 1。每个周期执行：

采样三相电流 ia、ib、ic，经 Clarke 变换得到 iα、iβ。
对 8 个候选电压矢量，分别代入离散模型预测下一时刻电流。
计算代价函数 J = |iα* − iα(k+1)|² + |iβ* − iβ(k+1)|²。
选择 J 最小的矢量，输出对应开关状态 Sa、Sb、Sc。
下一周期重复，形成滚动优化。

若加入反馈校正，可将实际电流与预测电流的偏差补偿到预测模型中，抑制参数失配带来的稳态误差。若进一步优化开关状态，可在代价函数中加入开关次数惩罚项，降低开关损耗。

七、复盘与要点归纳

MPC 三要素：预测模型、滚动优化、反馈校正，缺一不可。
预测模型决定预测精度，滚动优化决定控制性能，反馈校正决定鲁棒性。
CCS-MPC 控制集连续，需要调制器；FCS-MPC 控制集离散，直接输出开关信号。
FCS-MPC 的开关状态优化空间来自有限候选矢量，枚举法是基础实现方式。
实际应用中需权衡预测时域、采样周期、代价函数权重和计算负担。