📚 课程目录第4章电机MPC的数学建模

4. 电机MPC的数学建模

模型预测控制（MPC）在电机驱动中的性能上限，首先由数学模型决定。若模型不能准确描述电流、转速与电压之间的动态关系，再快的求解器也无法给出正确的电压矢量。本节围绕四个关键环节展开：连续域状态空间建模、离散化方法选择、预测方程推导，以及约束条件的数学表达。它们共同构成MPC控制器的“数学底座”。

一、核心原理：从电机方程到状态空间模型

以永磁同步电机（PMSM）为例，在dq旋转坐标系下，忽略铁损与磁路饱和，电压方程可写为：

ud = Rs·id + Ld·(did/dt) - ωe·Lq·iq
uq = Rs·iq + Lq·(diq/dt) + ωe·Ld·id + ωe·ψf

其中 Rs 为定子电阻，Ld、Lq 为直交轴电感，ωe 为电角速度，ψf 为永磁体磁链。选取状态变量 x = [id, iq]ᵀ，输入变量 u = [ud, uq]ᵀ，扰动项包含 ωe 相关耦合项，则连续状态空间模型为：

dx/dt = A·x + B·u + E·d
A = [[-Rs/Ld,  ωe·Lq/Ld],
     [-ωe·Ld/Lq, -Rs/Lq]]
B = [[1/Ld, 0],
     [0, 1/Lq]]
E = [[0, -Lq·iq/Ld],
     [0, -Ld·id/Lq - ψf/Lq]]

这里 A 矩阵含转速耦合项，说明电机模型本质上是时变的。若转速变化远慢于电流环，可在每个控制周期内将 ωe 视为常数，把模型线性化为线性时变（LTV）系统，这是实时实现中常用的工程近似。

建模要点：状态变量选择决定预测方程形式。电流预测常用 id、iq；若需同时控制转速，可扩展为 x = [id, iq, ωm]ᵀ，但会显著增加计算量。

二、离散化方法：前向欧拉、后向欧拉与精确离散

数字控制器只能在离散时刻计算，因此必须将连续模型转换为离散形式 x(k+1) = Ad·x(k) + Bd·u(k)。常用方法有三类：

前向欧拉法：Ad = I + A·Ts，Bd = B·Ts。计算最简单，但 Ts 较大时精度下降，甚至可能不稳定。
后向欧拉法：Ad = (I - A·Ts)⁻¹，Bd = (I - A·Ts)⁻¹·B·Ts。稳定性较好，但需矩阵求逆。
精确离散化：Ad = e^(A·Ts)，Bd = ∫₀^Ts e^(A·τ)dτ·B。精度最高，适合对模型精度要求高的场合，但指数矩阵计算开销大。

在电机MPC中，电流环控制周期通常为 50～200 μs，前向欧拉法已能满足精度要求，且计算量最小，因此成为实时实现的首选。若控制周期接近电机电气时间常数，则应改用后向欧拉或精确离散化。

三、预测方程推导：从单步到多步

设离散模型为 x(k+1) = Ad·x(k) + Bd·u(k)，则未来 N 步状态可由当前状态和输入序列递推得到：

x(k+1) = Ad·x(k) + Bd·u(k)
x(k+2) = Ad²·x(k) + Ad·Bd·u(k) + Bd·u(k+1)
...
x(k+N) = Ad^N·x(k) + Σ Ad^(N-1-i)·Bd·u(k+i)

将上式写成矩阵形式，即得到预测方程：

X = F·x(k) + Φ·U
X = [x(k+1), x(k+2), ..., x(k+N)]ᵀ
U = [u(k), u(k+1), ..., u(k+N-1)]ᵀ
F = [Ad, Ad², ..., Ad^N]ᵀ
Φ 为下三角块矩阵，元素为 Ad^(i-j)·Bd

预测方程是MPC的核心：它把“未来状态”表达为“当前状态 + 未来输入”的线性函数。控制器只需优化 U，即可同时影响未来 N 步的电流轨迹。对于电机电流环，N 通常取 1～3，因为电流动态快，过长的预测窗口收益有限，反而增加计算负担。

实时实现中，F 和 Φ 可在每个控制周期根据当前转速重新计算，也可预先离线计算若干转速点的矩阵并在线插值，以降低在线计算量。

四、约束条件表达：电压、电流与开关频率

MPC 相比 PI 控制的最大优势，是能显式处理约束。电机驱动中的约束主要包括：

约束类型	数学表达	物理含义
电压圆约束	ud² + uq² ≤ Udc²/3	受母线电压限制，SVPWM线性调制区
电流圆约束	id² + iq² ≤ Imax²	受功率器件与绕组热限制
电流变化率	\|i(k+1) - i(k)\| ≤ Δimax	限制电流冲击，保护器件
开关频率	Σ\|S(k+1)-S(k)\| ≤ Nsw	限制逆变器开关次数，降低损耗

在优化问题中，约束通常写成线性不等式组：

min  J = Σ (x(k+i) - xref)ᵀQ(x(k+i) - xref) + u(k+i)ᵀRu(k+i)
s.t. x(k+i+1) = Ad·x(k+i) + Bd·u(k+i)
     G·u(k+i) ≤ h
     x(k+i) ∈ Xset, u(k+i) ∈ Uset

其中 Q、R 为权重矩阵，G·u ≤ h 表示电压、电流等约束的线性化形式。对于电压圆约束，由于是二次约束，实际实现中常采用多边形内近似，将其转化为线性不等式，便于实时求解。

五、案例与误区复盘

以一台 1 kW PMSM 为例，参数为 Rs = 0.5 Ω，Ld = 5 mH，Lq = 8 mH，ψf = 0.1 Wb，Ts = 100 μs。采用前向欧拉离散化，得到 Ad = I + A·Ts，Bd = B·Ts。在转速 1000 rpm 时，ωe ≈ 104.7 rad/s，耦合项 ωe·Lq/Ld ≈ 167.5，说明耦合不可忽略。若忽略耦合项，电流预测误差可达 10% 以上，导致稳态电流纹波增大。

常见误区：一是离散化时忽略转速耦合项，导致高速区预测失准；二是预测步长 N 取得过大，计算量剧增但电流环带宽并未提升；三是约束条件只考虑电压圆，忽略电流圆和开关频率，导致器件过热或开关损耗超标。

复盘建议：建模阶段先用精确离散化验证前向欧拉法的误差，确认 Ts 足够小；预测方程推导后，用仿真对比预测电流与实际电流的偏差；约束表达时，优先将二次约束线性化，并检查约束是否可行域非空。只有模型、离散化、预测方程和约束四者一致，MPC 才能在实时平台上稳定运行。