2. 电机控制基础
模型预测控制（MPC）在电机驱动中的价值，最终要落到“用哪个模型预测、预测什么状态、如何约束”这三个问题上。因此，在进入MPC算法之前，必须先建立电机本体的数学模型，并理解坐标变换、矢量控制（FOC）与直接转矩控制（DTC）如何把复杂的三相交流问题转化为可实时计算的形式。本节从直流电机出发，逐步过渡到永磁同步电机（PMSM）与感应电机（IM），并给出MPC最常用的状态方程形式。
一、直流电机：最直观的转矩控制模型
直流电机的核心优势在于“转矩与电流近似解耦”。他励直流电机的电枢回路方程为：
u_a = R_a·i_a + L_a·di_a/dt + e_a
e_a = K_e·ω
T_e = K_t·i_a
J·dω/dt = T_e - T_L - B·ω其中 i_a 为电枢电流，ω 为机械角速度，T_e 为电磁转矩，T_L 为负载转矩。由于励磁磁通恒定，转矩只由 i_a 决定，控制电流即可控制转矩。这种“单变量控制”是理解交流电机解耦控制的起点：交流电机之所以复杂，是因为转矩同时受定子电流幅值、频率和相位影响，必须通过坐标变换人为构造出类似直流电机的解耦结构。
二、PMSM与IM的数学模型
永磁同步电机在dq旋转坐标系下的电压方程可写为：
u_d = R_s·i_d + L_d·di_d/dt - ω_e·L_q·i_q
u_q = R_s·i_q + L_q·di_q/dt + ω_e·(L_d·i_d + ψ_f)
T_e = 1.5·p·[ψ_f·i_q + (L_d - L_q)·i_d·i_q]表贴式PMSM通常 L_d ≈ L_q，转矩近似正比于 i_q，因此采用 i_d = 0 控制即可获得最大转矩/电流比。内置式PMSM存在磁阻转矩，可利用负 i_d 提升效率。感应电机的难点在于转子磁场由定子侧感应产生，其dq模型包含转子磁链状态：
u_sd = R_s·i_sd + dψ_sd/dt - ω_e·ψ_sq
u_sq = R_s·i_sq + dψ_sq/dt + ω_e·ψ_sd
dψ_rd/dt = R_r·i_rd - (ω_e - ω_r)·ψ_rq
T_e = 1.5·p·(ψ_sd·i_sq - ψ_sq·i_sd)可以看到，IM的转矩同时依赖定子磁链与电流，且转子磁链不可直接测量，需要观测器估计。这正是MPC在IM驱动中比PMSM更具挑战的原因。
三、坐标变换：把三相变成两相
坐标变换是交流电机控制的“翻译器”。Clarke变换将三相静止坐标系 abc 投影到两相静止坐标系 αβ，Park变换再将 αβ 旋转到随转子磁场同步的 dq 坐标系：
[i_α] [1 -1/2 -1/2 ] [i_a]
[i_β] = 2/3·[0 √3/2 -√3/2]·[i_b]
[i_c]
[i_d] [ cosθ sinθ] [i_α]
[i_q] = [-sinθ cosθ]·[i_β]变换后，基波量变为直流量，PI调节器才能实现零稳态误差。对MPC而言，坐标变换的意义在于：预测模型可以在 dq 坐标系建立，状态量少、维度低，便于在线滚动优化。
四、矢量控制与直接转矩控制
矢量控制（FOC）的核心思想是“模仿直流电机”：通过坐标变换把定子电流分解为励磁分量 i_d 和转矩分量 i_q，再用两个PI调节器分别控制，最后经SVPWM输出。其优点是转矩平稳、低速性能好、电流谐波小；缺点是依赖转子位置和参数，PI带宽受限，动态响应受调制环节影响。
直接转矩控制（DTC）则跳过电流环，直接根据定子磁链和转矩的滞环比较结果，从预定义的开关表中选择电压矢量。其优点是结构简单、动态响应快；缺点是开关频率不固定、转矩脉动大、低速时磁链观测困难。
| 对比项 | 矢量控制 FOC | 直接转矩控制 DTC | 模型预测控制 MPC |
|---|---|---|---|
| 控制对象 | 定子电流 dq 分量 | 定子磁链与转矩 | 电流/磁链/转矩多目标 |
| 调制方式 | SVPWM 连续调制 | 开关表离散选择 | 遍历电压矢量择优 |
| 动态响应 | 中等，受PI带宽限制 | 快，但脉动大 | 快，且可显式约束 |
| 计算量 | 低 | 极低 | 高，需在线滚动优化 |
| 参数敏感性 | 依赖电感、磁链 | 依赖磁链观测 | 依赖预测模型精度 |
五、案例：从FOC到MPC的模型复用
以表贴式PMSM为例，若已有一套FOC代码，其dq电压方程可直接作为MPC的预测模型。将电流导数离散化：
i_d[k+1] = i_d[k] + Ts/L_d·(u_d[k] - R_s·i_d[k] + ω_e·L_q·i_q[k])
i_q[k+1] = i_q[k] + Ts/L_q·(u_q[k] - R_s·i_q[k] - ω_e·(L_d·i_d[k] + ψ_f))MPC在每个控制周期遍历逆变器可用的8个电压矢量，预测下一时刻电流，并选择使代价函数 J = (i_d* - i_d[k+1])² + (i_q* - i_q[k+1])² 最小的矢量。可见，FOC中的坐标变换、PI参数和SVPWM被“预测+寻优”替代，但电机模型本身完全复用。
六、常见误区与复盘
- 误区一：认为MPC不需要坐标变换。实际上，绝大多数电机MPC仍在dq坐标系建模，因为dq下状态量少、直流量便于预测。
- 误区二：把DTC的开关表直接当作MPC。DTC是“查表+滞环”，MPC是“预测+优化”，后者可显式处理约束和多个目标。
- 误区三：忽略离散化误差。当采样周期
Ts与电气时间常数接近时，一阶欧拉离散会引入明显偏差，需改用精确离散或缩短Ts。 - 误区四：IM的转子磁链用定子磁链代替。两者相位不同，直接替代会导致转矩预测方向错误。