3. SRM数学模型
开关磁阻电机（SRM）的数学建模是仿真与实机调试之间的桥梁。与永磁同步电机不同，SRM 的定转子均为凸极结构，磁路随转子位置周期性变化，导致电感、磁链和转矩都呈现强非线性。若直接套用线性模型，仿真波形往往与实测相差甚远，尤其在换相区和饱和区。因此，本节从电感模型出发，逐层建立磁链、转矩、电压和机械运动方程，并说明非线性特性的处理方式。
一、核心原理：从电感模型到完整方程组
SRM 的每相绕组可视为一个随转子位置变化的电感。以 A 相为例，其自感 La(θ, i) 同时受转子位置角 θ 和相电流 i 影响。在线性简化下，可写成 La(θ) = Lmin + (Lmax - Lmin)·f(θ)，其中 Lmin 为对齐位置的最小电感，Lmax 为对齐位置的最大电感。实际工程中，由于铁芯饱和，Lmax 会随电流增大而下降，因此必须引入 L(θ, i) 二维查表。
磁链模型由电感的积分关系得到：ψ(θ, i) = ∫ L(θ, i) di。在饱和情况下，磁链不再是电流的线性函数，而是呈现“膝点”后趋于平缓的曲线。转矩模型则来自磁共能对转子位置的偏导：Te = ∂W'(θ, i) / ∂θ，其中 W' 为磁共能。对于线性电感，可简化为 Te = ½ i² dL/dθ，这解释了 SRM 转矩正比于电流平方和电感变化率的特点。
关键结论：SRM 的转矩方向由 dL/dθ 的符号决定。当转子趋向对齐位置时，dL/dθ > 0，产生正向电动转矩；反之则产生制动转矩。这一特性是电流斩波和角度控制的基础。
二、电压方程与机械运动方程
单相电压方程可写为：u = R·i + dψ(θ, i)/dt。展开后得到 u = R·i + (∂ψ/∂i)·(di/dt) + (∂ψ/∂θ)·(dθ/dt)。其中 ∂ψ/∂i 为增量电感，∂ψ/∂θ 为旋转反电势系数，dθ/dt 即转子角速度 ω。该方程表明，SRM 的相电压不仅用于建立电流，还要克服旋转反电势，且反电势与转速和磁链位置变化率成正比。
机械运动方程描述转子动力学：Te - TL - B·ω = J·dω/dt，其中 Te 为电磁转矩，TL 为负载转矩，B 为阻尼系数，J 为转动惯量。该方程将电磁量与机械量耦合，是转速闭环和位置闭环仿真的核心。
三、非线性特性与建模流程
SRM 的非线性主要体现在三个方面：磁饱和导致 ψ-i 曲线弯曲；相间互感在多数结构中可忽略，但相邻相导通时仍有耦合；电感随位置和电流双重变化。工程上常采用“磁链-电流-位置”三维查表法，或使用解析拟合函数如 ψ = a·(1 - e-b·i) + c·i 来近似饱和特性。
建模流程建议如下：
- 获取
L(θ, i)或ψ(θ, i)数据，可通过有限元仿真或实验测量。 - 建立单相电压方程和磁链积分模块，注意使用增量电感避免代数环。
- 由磁共能或转矩查表计算
Te，并叠加各相转矩。 - 接入机械运动方程，输出转速和位置，反馈至电感/磁链查表。
- 在换相区考虑相间重叠和电流续流，验证非线性模型的收敛性。
四、案例与参数关系
以一台 8/6 极、额定功率 4 kW 的 SRM 为例，其对齐电感约 80 mH，非对齐电感约 12 mH，额定电流 15 A。若采用线性模型，在 1500 r/min 时计算得到的转矩脉动约为 35%；而采用饱和查表模型后，转矩脉动可降至 18% 左右，更接近实测。下表列出关键参数及其对模型的影响。
| 参数 | 符号 | 典型值 | 对模型的影响 |
|---|---|---|---|
| 对齐电感 | Lmax | 80 mH | 决定最大磁链和转矩输出能力 |
| 非对齐电感 | Lmin | 12 mH | 影响最小电感与电流上升率 |
| 相电阻 | R | 0.8 Ω | 影响铜耗与低速电流峰值 |
| 转动惯量 | J | 0.002 kg·m² | 决定转速响应与转矩脉动抑制 |
| 饱和磁链 | ψsat | 0.35 Wb | 限制大电流下的转矩增长 |
五、常见误区与复盘
误区一：用固定电感代替 L(θ, i)。这会导致换相区电流波形严重失真，仿真转速出现周期性跳变。
误区二：忽略磁链积分初值。磁链是积分量，若初值不为零，会引入直流偏置，使转矩计算出现恒定误差。
误区三：将 dL/dθ 视为常数。实际 dL/dθ 在换相区变化剧烈，必须按位置实时更新。
复盘时建议先核对 ψ-i 曲线是否与有限元或实验数据一致，再检查电压方程中增量电感的符号和量纲。若仿真电流在斩波区出现高频振荡，通常是步长过大或查表插值不连续所致。实机调试时，可用示波器观测相电流和相电压，反推磁链波形，与仿真结果对比，逐步修正模型参数。
% SRM 单相磁链与转矩计算示例（伪代码）
theta = rotor_position; % 转子位置角
i = phase_current; % 相电流
L = lookup_L(theta, i); % 二维查表
psi = lookup_psi(theta, i); % 磁链查表
dL_dtheta = (L(theta+dth,i) - L(theta-dth,i)) / (2*dth);
Te = 0.5 * i^2 * dL_dtheta; % 线性近似转矩
% 饱和修正：Te = lookup_Te(theta, i);
综上，SRM 的数学模型是一个以电感为起点、磁链为中间量、转矩为输出、电压和机械方程为约束的闭环系统。只有把非线性特性纳入查表或拟合，才能让仿真波形与实机调试结果保持一致，为后续控制策略设计提供可靠基础。