4. 轨迹规划基础
在双臂机器人同步轨迹控制中，轨迹规划是连接任务描述与底层伺服控制的桥梁。它决定了机械臂“走什么路、以什么速度走、走得多平滑”。如果轨迹规划不合理，即使控制器性能再高，也会出现抖动、冲击、末端轨迹偏离甚至双臂碰撞。本节围绕关节空间与笛卡尔空间两条主线，讲清插值方法、时间标定与平滑性要求，为后续同步控制打下基础。
一、核心原理：两种规划空间的分工
轨迹规划的本质，是在给定起点与终点之间构造一条满足约束的连续曲线。根据描述变量的不同，分为关节空间轨迹规划与笛卡尔空间轨迹规划。
- 关节空间规划：直接对每个关节的角度序列进行插值，得到 q(t)。优点是计算量小、不会出现奇异位形、关节运动自然；缺点是末端执行器的空间路径不可直观预知，可能偏离直线或圆弧。
- 笛卡尔空间规划：先规划末端位姿 x(t)、y(t)、z(t) 及姿态，再通过逆运动学解算为关节角。优点是末端路径精确可控，适合焊接、涂胶、装配等对空间轨迹要求高的任务；缺点是计算量大，可能遇到奇异点与关节限位。
双臂同步场景下，通常采用“笛卡尔空间规划主臂末端路径，关节空间规划从臂协调运动”的混合策略，兼顾路径精度与运动可行性。
二、插值方法：从直线到样条
插值决定了轨迹的形状与连续性。常用方法包括：
- 线性插值：位置按直线变化，速度恒定，加速度在起止点突变，冲击大，仅适合低速短距离。
- 抛物线过渡线性插值：在起止段加入匀加速/匀减速段，使速度连续，加速度有界，是工业机器人最常用的关节空间插值。
- 三次多项式插值：给定起止位置与速度，构造三次曲线，位置和速度连续，加速度不连续。
- 五次多项式插值：同时约束起止位置、速度、加速度，得到 C² 连续轨迹，平滑性最好，适合高速高精度场景。
- B 样条与 NURBS：用于多路径点平滑过渡，可局部修改而不影响全局，适合复杂曲面加工。
笛卡尔空间插值还需处理姿态：位置用直线或圆弧插值，姿态常用四元数球面线性插值（SLERP），避免欧拉角万向节死锁。
三、时间标定与平滑性要求
插值只给出几何路径，时间标定则决定沿路径的运动速度。常见做法是引入归一化路径参数 s∈[0,1]，再设计 s(t) 使速度、加速度满足约束。
| 标定方式 | 速度特性 | 加速度特性 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 梯形速度 | 加速—匀速—减速 | 起止突变 | 中低速点位运动 |
| S 型速度 | 平滑加减速 | 连续有界 | 高速、易抖动场景 |
| 多项式时间律 | 由多项式决定 | C² 连续 | 高精度同步轨迹 |
平滑性通常用连续性阶数衡量：C⁰ 位置连续、C¹ 速度连续、C² 加速度连续。双臂同步时，若两臂轨迹加速度不连续，会在末端产生冲击，破坏相对位姿精度。因此推荐至少使用 C¹ 连续，高精度任务使用 C² 连续。
关键约束：关节速度 |q̇| ≤ q̇_max，关节加速度 |q̈| ≤ q̈_max，加加速度 |q⃛| ≤ q⃛_max。时间标定必须在这些边界内求解，否则轨迹不可执行。
四、案例与实操：双臂协同搬运的轨迹规划
以双臂协同搬运一个刚性箱体为例，要求两臂末端保持固定相对位姿。规划流程如下：
1. 在笛卡尔空间规划箱体中心位姿轨迹 x_obj(t)
2. 根据两臂抓取点相对箱体的固定变换，计算左右末端目标位姿
x_L(t) = x_obj(t) · T_L
x_R(t) = x_obj(t) · T_R
3. 对 x_L(t)、x_R(t) 分别做逆运动学，得到关节角序列
4. 检查奇异点、关节限位与双臂碰撞
5. 对关节角序列做五次多项式时间标定，保证 C² 连续
6. 输出同步轨迹 q_L(t)、q_R(t) 给伺服控制器若直接对两臂关节空间独立规划，虽然各自平滑，但末端相对位姿会漂移，箱体可能被扭曲。因此双臂同步必须“先笛卡尔约束、后关节空间平滑”。
实操建议：在规划器中同时输出位置、速度、加速度三条曲线，用示波器观察关节 q̈ 是否连续。若出现尖峰，优先检查时间标定是否使用了梯形速度而非 S 型速度。
五、常见误区与复盘
- 误区一：只关注位置连续，忽略加速度连续。位置连续只能保证不跳变，加速度突变仍会引起机械冲击和振动。
- 误区二：笛卡尔空间规划后不做奇异检查。逆解在奇异点附近关节速度趋于无穷，必须提前降速或绕行。
- 误区三：两臂各自规划后简单拼接。双臂同步要求相对位姿约束，独立规划会破坏协同关系。
- 误区四：时间标定只按最大速度，不留加速度余量。实际系统存在摩擦与柔性，需留 20%～30% 余量。
复盘时建议记录每条轨迹的 q、q̇、q̈ 峰值，与约束表对比，形成可复用的参数模板。只有把插值、时间标定与平滑性统一考虑，双臂同步轨迹才能在高速下保持稳定与精确。