4. 坐标系与运动学
在垂直起降固定翼的过渡控制中，控制器真正“看见”的不是飞机本身，而是飞机在若干坐标系中的位置、速度、姿态与角速度。坐标系定义不清，姿态表示选错，运动学方程就会在悬停与巡航之间产生符号跳变、奇异点或积分漂移。本章围绕工程实现，梳理常用坐标系、姿态表示方法以及运动学方程的建立流程。
一、常用坐标系及其工程含义
垂直起降固定翼通常涉及四类坐标系。它们之间的转换关系决定了制导律、姿态控制和导航滤波的输入输出是否一致。
- 地心惯性系（ECI）：原点在地心，用于高精度导航解算，工程中较少直接用于控制。
- 当地地理系（NED/ENU）：原点在飞机起飞点或当前点，北东地或东北天，是航迹跟踪与位置控制的主要参考系。
- 机体坐标系（Body）：原点在重心，x 轴指向机头，y 轴指向右翼，z 轴指向机腹，是角速率与气动力矩的作用系。
- 气流坐标系（Wind）：原点在重心，x 轴沿空速方向，用于迎角、侧滑角与气动力建模。
过渡阶段最易出错的是机体轴与气流轴混用：悬停时气流速度接近零，气流系方向不确定；一旦前飞，气流系又迅速建立。因此控制器内部应明确“姿态控制用机体系，气动解算用气流系”，并通过空速阈值进行切换。
二、姿态表示：欧拉角、旋转矩阵与四元数
姿态表示方法直接决定计算复杂度与奇异点分布。工程中常见三种表示：
| 表示方法 | 参数个数 | 优点 | 缺点 | 适用场景 |
|---|---|---|---|---|
| 欧拉角 | 3 | 直观、易调参 | 万向节死锁，俯仰±90°奇异 | 小角度悬停、显示与监控 |
| 旋转矩阵 | 9 | 无奇异、可直接变换向量 | 冗余，需正交化 | 坐标变换、视觉与导航 |
| 四元数 | 4 | 无奇异、计算高效、适合积分 | 物理直观性差 | 过渡飞行、全姿态控制 |
对于垂直起降固定翼，过渡段俯仰角可能从 0° 快速变化到 90° 附近，欧拉角在俯仰 ±90° 处出现奇异，因此姿态解算与姿态控制内部应统一采用四元数，仅在遥测显示和地面站调参时转换为欧拉角。
三、欧拉角与四元数的转换关系
以 Z-Y-X 顺序（偏航-俯仰-滚转）为例，欧拉角到四元数的转换为：
q0 = cos(phi/2)*cos(theta/2)*cos(psi/2) + sin(phi/2)*sin(theta/2)*sin(psi/2)
q1 = sin(phi/2)*cos(theta/2)*cos(psi/2) - cos(phi/2)*sin(theta/2)*sin(psi/2)
q2 = cos(phi/2)*sin(theta/2)*cos(psi/2) + sin(phi/2)*cos(theta/2)*sin(psi/2)
q3 = cos(phi/2)*cos(theta/2)*sin(psi/2) - sin(phi/2)*sin(theta/2)*cos(psi/2)四元数到欧拉角的反解为：
phi = atan2(2*(q0*q1 + q2*q3), 1 - 2*(q1*q1 + q2*q2))
theta = asin(2*(q0*q2 - q3*q1))
psi = atan2(2*(q0*q3 + q1*q2), 1 - 2*(q2*q2 + q3*q3))注意 asin 的自变量必须限幅到 [-1,1]，否则浮点误差会导致 NaN。过渡控制中，俯仰角接近 ±90° 时，偏航与滚转耦合，地面站显示应提示“航向不可观测”，避免操作员误判。
四、运动学方程建立流程
运动学方程描述位置、速度、姿态与角速度之间的几何关系，不涉及力和力矩。建立流程如下：
- 定义地系位置 p = [x, y, z]^T 与地系速度 v = [vx, vy, vz]^T。
- 定义机体系速度 v_b 与地系速度的转换：v = R_b2e * v_b。
- 定义姿态四元数 q 的微分方程：q_dot = 0.5 * q ⊗ [0, ω_b]。
- 定义角速度 ω_b 由陀螺仪测量或姿态控制器输出。
- 将位置微分方程 p_dot = v 与姿态微分方程联立，形成 13 状态运动学模型。
在过渡段，机体系速度 v_b 同时包含前飞分量与垂向分量，地系速度则通过旋转矩阵耦合了俯仰角。若忽略姿态变化直接积分地系速度，会在倾转过程中产生位置漂移。
五、案例：过渡段姿态解算与位置漂移
某 25 kg 垂直起降固定翼在 8 s 倾转过渡中，俯仰角从 0° 变化到 75°。若姿态解算使用欧拉角积分，俯仰角在 70° 附近出现数值抖动，导致旋转矩阵 R_b2e 的第三行符号反复跳变，地系速度积分出现约 12 m 的位置漂移。改用四元数积分后，姿态更新平滑，位置漂移降至 1.5 m 以内。
六、复盘与检查清单
- 坐标系定义是否在代码注释与接口文档中统一？
- 姿态内环是否使用四元数，且每次积分后做单位化？
- 欧拉角反解是否对 asin 输入限幅？
- 过渡段是否根据空速切换机体系与气流系？
- 位置积分是否使用旋转矩阵而非直接积分机体系速度？
- 地面站显示是否提示俯仰 ±90° 附近的航向不可观测？
坐标系与运动学是过渡控制的“几何底座”。只有把地系、机体系、气流系的转换关系、四元数姿态更新和 13 状态运动学方程建立正确，后续的制导律、姿态控制器与导航滤波器才能在悬停、倾转和巡航之间无缝衔接。