3. 电机控制基础

电机控制建模的第一步，是准确理解被控对象的物理本质。直流电机、交流感应电机（IM）与永磁同步电机（PMSM）虽然最终都实现机电能量转换，但其磁场建立方式、转矩产生机理和数学描述截然不同。在Simulink中建立电机模型时，若对数学模型理解不透彻，极易出现参数设置错误、仿真发散或控制策略失效等问题。本章将系统梳理三类电机的核心工作原理、数学模型及其在Simulink中的建模要点，为后续控制器设计奠定基础。

上图展示了三类电机在Simulink中的建模映射关系。直流电机模型最为直观，可直接用传递函数或Simscape物理模型表达；感应电机和永磁同步电机则需要通过坐标变换将三相交流量转换为两相旋转坐标系下的直流量，才能实现解耦控制。下面分别展开论述。

3.1 直流电机：线性模型的经典范式

3.1.1 核心原理与数学模型

直流电机（DC Motor）的励磁磁场与电枢电流产生的磁场在空间上正交，通过换向器保证转矩方向恒定。其数学模型是电机控制中最简单的线性系统，包含电气子系统和机械子系统两部分。

电气方程（电枢回路）：

V_a = R_a·i_a + L_a·(di_a/dt) + e_a
e_a = K_e·ω_m
T_e = K_t·i_a

机械方程：

J·(dω_m/dt) = T_e - T_L - B·ω_m

其中，V_a为电枢电压，R_a为电枢电阻，L_a为电枢电感，e_a为反电动势，K_e为反电动势常数，K_t为转矩常数（在SI单位制下K_e = K_t），ω_m为机械角速度，J为转动惯量，B为粘滞摩擦系数，T_L为负载转矩。

将上述方程拉普拉斯变换后，可得电枢电压到转速的传递函数：

G(s) = ω_m(s)/V_a(s) = K_t / [(L_a·s + R_a)(J·s + B) + K_e·K_t]

这是一个典型的二阶系统，其电气时间常数τ_e = L_a/R_a，机械时间常数τ_m = J/B。在Simulink中，既可以使用传递函数模块直接搭建，也可以使用Simscape Electrical中的DC Motor物理模型。

3.1.2 案例拆解：直流电机双闭环调速系统建模

某小型直流伺服电机参数：R_a = 2.6Ω，L_a = 0.18mH，K_t = 0.12 N·m/A，J = 1.2e-4 kg·m²，B = 1e-5 N·m·s。要求设计电流环和转速环双闭环控制器。

建模步骤：

1. 在Simulink中建立电气方程子模块，输入为电枢电压V_a，输出为电流i_a；
2. 建立机械方程子模块，输入为电磁转矩T_e和负载转矩T_L，输出为转速ω_m；
3. 通过K_e和K_t将电气与机械子模块耦合；
4. 电流环采用PI控制器，带宽设为2kHz；转速环采用PI控制器，带宽设为50Hz。

仿真结果分析：空载启动时，电流环快速响应使电枢电流迅速达到限幅值（如10A），电机以最大加速度启动；转速环在转速接近给定值时逐渐减小电流指令，最终稳定在目标转速。通过对比不同PI参数下的阶跃响应，可直观理解带宽与稳定裕度的权衡。

3.2 交流感应电机：磁场定向控制的复杂性

3.2.1 核心原理与数学模型

交流感应电机（Induction Motor, IM）的转子绕组不直接供电，而是通过定子旋转磁场在转子中感应出电流，进而产生转矩。其数学模型本质上是高阶、非线性、强耦合的多变量系统。在Simulink中，通常采用两相静止坐标系（αβ）或两相旋转坐标系（dq）下的模型。

在两相静止坐标系下，感应电机的电压方程和磁链方程为：

定子电压：u_sα = R_s·i_sα + dψ_sα/dt
          u_sβ = R_s·i_sβ + dψ_sβ/dt
转子电压：0 = R_r·i_rα + dψ_rα/dt + ω_r·ψ_rβ
          0 = R_r·i_rβ + dψ_rβ/dt - ω_r·ψ_rα
磁链方程：ψ_sα = L_s·i_sα + L_m·i_rα
          ψ_sβ = L_s·i_sβ + L_m·i_rβ
          ψ_rα = L_m·i_sα + L_r·i_rα
          ψ_rβ = L_m·i_sβ + L_r·i_rβ

其中，下标s表示定子，r表示转子，L_s = L_ls + L_m，L_r = L_lr + L_m，L_m为互感，ω_r为转子电角速度。

电磁转矩表达式为：

T_e = 1.5·p·(ψ_sα·i_sβ - ψ_sβ·i_sα)

在转子磁场定向控制（FOC）中，将dq坐标系d轴对准转子磁链矢量，则转矩可简化为：

T_e = 1.5·p·(L_m/L_r)·ψ_r·i_sq

此时，励磁电流i_sd控制转子磁链ψ_r，转矩电流i_sq控制转矩，实现解耦。

3.2.2 转子时间常数的影响与参数敏感性

转子时间常数T_r = L_r/R_r是感应电机FOC中最关键的参数。它决定了转子磁链的建立速度，也影响转差频率的计算：

ω_sl = (L_m·i_sq) / (T_r·ψ_r)

当电机温度升高时，转子电阻R_r增大，T_r减小。若控制器仍使用原T_r值，会导致磁链估计偏差，转矩响应变慢甚至振荡。

3.3 永磁同步电机：高效驱动的核心对象

3.3.1 核心原理与数学模型

永磁同步电机（PMSM）转子采用永磁体励磁，无需励磁电流，因此效率高、功率密度大。根据永磁体安装位置，分为表贴式（SPMSM，L_d = L_q）和内置式（IPMSM，L_d < L_q）。其dq坐标系下的数学模型为：

电压方程：
u_d = R_s·i_d + L_d·(di_d/dt) - ω_e·L_q·i_q
u_q = R_s·i_q + L_q·(di_q/dt) + ω_e·(L_d·i_d + ψ_f)

转矩方程：
T_e = 1.5·p·[ψ_f·i_q + (L_d - L_q)·i_d·i_q]

其中，ψ_f为永磁体磁链，ω_e为电角速度（ω_e = p·ω_m），p为极对数。对于表贴式电机，L_d = L_q，转矩方程简化为T_e = 1.5·p·ψ_f·i_q，控制策略与直流电机类似（i_d = 0控制）。对于内置式电机，可利用磁阻转矩（L_d - L_q）·i_d·i_q，通过最大转矩电流比（MTPA）控制提升效率。

3.3.2 不同控制策略下的模型使用

在Simulink中，PMSM模型通常使用Simscape Electrical中的Permanent Magnet Synchronous Machine模块，或基于上述方程自行搭建。不同控制策略对模型的使用方式不同：

• i_d = 0控制：适用于表贴式电机，控制简单，转矩与i_q线性相关。仿真时只需将d轴电流指令设为0。
• MTPA控制：适用于内置式电机，需要根据L_d、L_q和ψ_f计算最优i_d、i_q组合。仿真中需加入MTPA查表模块或在线计算模块。
• 弱磁控制：当转速超过基速时，需要负向i_d削弱永磁磁场。仿真中需加入电压约束和电流约束条件。

3.3.3 案例拆解：表贴式PMSM的FOC仿真模型搭建

某表贴式PMSM参数：R_s = 0.958Ω，L_d = L_q = 5.25mH，ψ_f = 0.1827Wb，极对数p = 4，J = 0.003kg·m²，B = 0.0008N·m·s。要求在Simulink中搭建FOC仿真模型，验证阶跃转速响应。

建模步骤：

1. 使用Simscape Electrical的PMSM模块，设置上述参数；
2. 搭建三相逆变器模型（或直接使用理想电压源）；
3. 实现Clark变换（abc→αβ）和Park变换（αβ→dq）；
4. 电流环PI控制器（d轴和q轴各一个），带宽设为1kHz；
5. 转速环PI控制器，带宽设为20Hz；
6. SVPWM调制模块生成逆变器开关信号。

仿真结果：给定转速1000rpm，空载启动。观察i_d和i_q波形：启动瞬间i_q迅速上升至限幅值（如15A），i_d保持为0；转速达到给定值后，i_q回落至接近0（仅需克服摩擦转矩）。整个过程中，d轴电流始终为0，验证了i_d = 0控制策略的正确性。

3.4 三类电机模型对比与选型建议

在Simulink建模选型时，应遵循以下原则：若关注控制算法本身（如PID调参、抗扰控制），建议使用直流电机模型，因其简单直观；若面向工业应用或电动汽车，应选择PMSM或IM模型，并重点掌握坐标变换和FOC实现；若研究参数辨识或自适应控制，IM模型因其参数敏感性更具研究价值。