3. 多工序约束表达

多工序排产的核心难点，不在于单个工序何时开始，而在于工序之间“谁等谁、谁和谁能同时做、做完之后要花多久才能进入下一台设备”。如果只把每道工序当成独立任务来排，得到的计划往往在时间上可行、在物理上不可行。本节围绕四类约束展开：工序先后关系、设备能力匹配、工序重叠与并行、转移时间与等待时间，并给出可直接落到模型里的表达方式。

一、工序先后关系：用有向约束而非“顺序号”表达

工序先后关系最容易被简化成“按工序号从小到大排”，但真实工艺路线中存在分支、合流和可选路径。更稳妥的做法是把工艺路线表达为有向无环图（DAG）：节点是工序，有向边表示“前序完成后序才能开始”。对于同一工件的工序 O_ij（工件 i 的第 j 道工序），若存在工艺边 O_ij → O_i,j+1，则约束为：

start(O_i,j+1) ≥ end(O_ij) + transfer(O_ij → O_i,j+1)
end(O_ij) = start(O_ij) + duration(O_ij, M_k)

其中 transfer 是工序间转移时间，duration 依赖所选设备。注意：先后关系是“不早于”约束，不是“必须紧接”。如果强行写成等式，会把等待时间压成零，导致计划不可执行。因此先后关系应表达为不等式，等待时间由后续约束自然产生。

二、设备能力匹配：候选设备集合与加工时间矩阵

设备能力匹配要回答两个问题：某工序能在哪些设备上做？在不同设备上做多久？工程上通常用“候选设备集合 + 加工时间矩阵”表达。例如某工序 O_23 可在 M1、M3、M4 上加工，对应时间分别为 40、32、55 分钟。此时引入 0-1 分配变量 x(O_23, M_k)，并满足：

Σ_k x(O_23, M_k) = 1                     （每道工序只选一台设备）
duration(O_23) = Σ_k x(O_23, M_k) · t(O_23, M_k)
start(O_23) ≥ end(前序) + transfer
同一设备上任意两工序不重叠

设备能力匹配不只是“能不能做”，还包括精度、模具、工装、人员资质等硬约束。建模时应把“不可用”直接排除在候选集合之外，而不是给一个很大的加工时间——后者会让求解器误以为“可以做但很慢”，从而产生看似可行、实际违规的方案。

三、工序重叠与并行：重叠量、并行分支与资源竞争

工序重叠指同一工件的相邻工序部分并行，常见于“分批转移”：前序完成一批后，后序即可开始，而不必等整批完成。设批量为 Q、转移批量为 q，则重叠可表达为：

start(O_i,j+1, 第1批) ≥ start(O_ij) + duration(O_ij) · (q / Q) + transfer
后续批次按 q 的节奏依次释放

并行则指不同工件或不同分支在同一时间段竞争同一设备。并行本身不违反工艺约束，但会触发设备占用约束。建模时要把“并行”与“重叠”分开：重叠改变的是同一工件内部的时序关系，并行改变的是设备上的排队关系。二者混在一起，容易出现“看起来能并行、实际设备冲突”的假计划。

四、转移时间与等待时间：把“空档”显式建模

转移时间是从前序工序结束到后序工序可开始之间的物理搬运、冷却、检验或换模时间。它通常与设备对、工件、批次有关，不能简单用一个全局常数代替。等待时间则是后序实际开始时间减去“前序结束 + 转移时间”的差值，反映的是设备排队、人员未到位或前序延迟造成的空档。

建模时建议把等待时间作为派生量而非独立变量：

wait(O_i,j+1) = start(O_i,j+1) − end(O_ij) − transfer(O_ij → O_i,j+1)
wait(O_i,j+1) ≥ 0

这样做的价值在于：当排产结果出现大量等待时，可以定位是设备能力不足、转移时间过长，还是前序工序本身延迟。若把等待时间直接写成固定值，就失去了这种诊断能力。

五、一个可执行的教学示例

假设工件 A 的工艺路线为 A-O1（M1 或 M2，40/48 分钟）→ A-O2（M3 或 M4，32/55 分钟）→ A-O3（M5，18 分钟），转移时间分别为 5 分钟和 3 分钟。若选择 M1 和 M3，则 A-O1 在 0 时刻开始，40 分钟结束；A-O2 最早可在 45 分钟开始，若 M3 空闲则 45 分钟开始、77 分钟结束；A-O3 最早 80 分钟开始、98 分钟结束。若 M3 在 45 分钟时仍被工件 B 占用，则 A-O2 需等待，等待时间等于 M3 释放时刻减去 45 分钟。

这个例子说明：先后关系决定“最早能开始”，设备能力决定“用哪台、做多久”，设备占用决定“实际何时能开始”，转移时间决定“中间必须留出的空档”。四类约束缺一不可。