4. 多相机系统标定基础

在四相机同步图像采集与激光条纹中心线提取系统中，相机标定是决定测量精度的核心环节。标定的本质是建立从三维世界坐标到二维图像坐标的映射关系，并消除镜头畸变带来的误差。本章将系统阐述单目标定、双目标定以及多相机联合标定的数学原理与工程实现路径。

4.1 单目标定：内参与畸变参数求解

单目标定是标定工作的基础，其目标是确定单个相机的内参矩阵（焦距、主点坐标）和畸变系数（径向畸变、切向畸变）。

4.1.1 成像模型与坐标系变换

针孔相机模型描述了从世界坐标系到像素坐标系的四次变换：

1. 世界坐标系 → 相机坐标系：通过旋转矩阵 R 和平移向量 t 实现刚体变换。
2. 相机坐标系 → 图像物理坐标系：基于针孔投影原理，将三维点投影到成像平面。
3. 图像物理坐标系 → 像素坐标系：通过缩放因子和主点偏移，将物理坐标转换为像素坐标。

完整的投影方程可表示为：

s * [u, v, 1]^T = K * [R | t] * [Xw, Yw, Zw, 1]^T

其中，s 为尺度因子，K 为内参矩阵，[R | t] 为外参矩阵。

4.1.2 张正友标定法

张正友标定法是单目标定的工业标准方法，使用棋盘格作为标定靶标。其核心步骤为：

4.1.3 畸变校正模型

镜头畸变主要包括径向畸变和切向畸变。常用的畸变模型为：

x_distorted = x * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + 2*p1*x*y + p2*(r^2 + 2*x^2)
y_distorted = y * (1 + k1*r^2 + k2*r^4 + k3*r^6) + p1*(r^2 + 2*y^2) + 2*p2*x*y

其中，k1, k2, k3 为径向畸变系数，p1, p2 为切向畸变系数，r^2 = x^2 + y^2。

4.2 双目标定：立体视觉的几何约束

双目标定在单目标定的基础上，进一步求解两个相机之间的相对位姿关系（旋转矩阵 R 和平移向量 t），为立体匹配和三维重建奠定基础。

4.2.1 对极几何与基础矩阵

对极几何描述了双相机系统中同名点之间的几何约束关系。核心概念包括：

• 基线：两个相机光心的连线。
• 对极点：基线在图像平面上的交点。
• 对极线：空间点在两个图像平面上的投影线。
• 基础矩阵 F：描述左右图像点对应关系的 3×3 矩阵，满足 x'^T * F * x = 0。
• 本质矩阵 E：在归一化坐标系下描述位姿关系，E = K'^T * F * K。

4.2.2 双目标定流程

4.2.3 立体校正原理

立体校正（Rectification）的目的是将双相机系统变换为理想的平行双目结构，使左右图像的对极线水平对齐，从而将二维搜索降为一维搜索。Bouguet 算法是常用的校正方法，其核心思想是将右相机图像平面旋转到左相机图像平面，并调整光轴平行。

4.3 多相机联合标定原理

对于四相机系统，联合标定的目标是建立所有相机在统一世界坐标系下的位姿关系，确保多视角数据的空间一致性。

4.3.1 标定策略选择

4.3.2 全局标定数学模型

全局标定将四台相机的所有观测数据纳入统一的优化框架。设第 i 台相机的外参为 [R_i | t_i]，第 j 个标定板角点的世界坐标为 P_j，则重投影误差为：

E = Σ_i Σ_j || p_ij - K_i * [R_i | t_i] * P_j ||^2

通过 Levenberg-Marquardt 算法最小化上述误差，同时优化所有相机的内参、外参以及标定板点的三维坐标。

4.3.3 多相机标定实施要点

• 共视区域设计：确保相邻相机之间有足够的重叠视场（建议 ≥ 30%），以便提取足够的同名点。
• 标定板尺寸：应同时满足所有相机的视场要求，避免在某个相机中占比过小。
• 同步采集：四相机必须硬件触发同步，避免因运动模糊或时间差引入标定误差。
• 鲁棒性检查：标定完成后，使用独立验证集计算重投影误差，并检查三维重建的几何一致性。

4.4 标定精度评估指标