3. 相机成像模型

3.2 内参矩阵

内参矩阵 K 描述了从归一化平面坐标 (x, y) 到像素坐标 (u, v) 的仿射变换。它包含了相机的内部固有参数：焦距、主点位置以及像素的倾斜因子。

内参矩阵的数学形式为：

K = | f<sub>x</sub>   0   c<sub>x</sub> |
    | 0    f<sub>y</sub>  c<sub>y</sub> |
    | 0     0    1  |

完整的像素坐标映射公式为：

u = f<sub>x</sub> * (X<sub>c</sub> / Z<sub>c</sub>) + c<sub>x</sub>
v = f<sub>y</sub> * (Y<sub>c</sub> / Z<sub>c</sub>) + c<sub>y</sub>

3.3 畸变参数

实际镜头并非完美针孔，透镜的物理形状和装配误差会导致图像畸变。畸变主要分为两类：径向畸变和切向畸变。

3.3.1 径向畸变

径向畸变由透镜表面曲率引起，光线在透镜边缘比中心弯曲更严重。表现为图像点沿径向方向向内（桶形畸变）或向外（枕形畸变）偏移。

数学模型使用泰勒级数展开描述：

x<sub>corrected</sub> = x * (1 + k<sub>1</sub>r² + k<sub>2</sub>r⁴ + k<sub>3</sub>r⁶)
y<sub>corrected</sub> = y * (1 + k<sub>1</sub>r² + k<sub>2</sub>r⁴ + k<sub>3</sub>r⁶)

其中 r² = x² + y²，k₁、k₂、k₃ 为径向畸变系数。对于普通镜头，通常只使用 k₁ 和 k₂；对于广角或鱼眼镜头，需要引入 k₃。

3.3.2 切向畸变

切向畸变源于透镜与成像平面不平行（装配误差），导致图像点在切向方向发生偏移。

数学模型为：

x<sub>corrected</sub> = x + [2p<sub>1</sub>xy + p<sub>2</sub>(r² + 2x²)]
y<sub>corrected</sub> = y + [p<sub>1</sub>(r² + 2y²) + 2p<sub>2</sub>xy]

其中 p₁、p₂ 为切向畸变系数。